LE CLASSI FINITE 41 



successii-0 (a -f- 1) ('). Questi, insieme al termine nùmero, sono 

 indi\'iduati dai postulati seguenti ('): 



(a) L'unità è un numero. 



(6) Il successivo d'ogni numero è un numero. 



(e) Numeri eguali hanno eguali i successivi e viceversa. 



{(i) L'uno non è il successivo d'un numero. 



(e) Se una proprietà è vera per il numero 1, ed ammessa 

 vera per un numero, si può dimostrar vera per il suo succes- 

 sivo, allora quella proprietà è vera per ogni numero. (Principio 

 d'induzione completa). 



Da questi postulati si deducono tutte le ordinarie proprietà 

 dei numeri. 



Essendo ii una classe si scriva numw, al posto di " nu- 

 mero degli K ,, e si ponga: numM = 0, quando la classe u non 

 contiene elementi; e si ponga numM=«, ove a è un numero, 

 quando il numero degli u da cui si toglie un elemento è a — 1. 

 Per induzione f ) risulta il significato generale di numw ^= a {*). 

 Si dica che u è classe finita (e non nulla) quando esiste 

 un numero a tale che numM^«, cioè quando gli elementi di u 

 si possono contare. Si dimostrerà, assai facilmente, che: se u, v, 

 sono classi finite, allora numM = num«, quando « è equiva- 

 lente a v: u è una classe finita quando non esiste una sua 

 parte propria equivalente ad u. Si ritorna così alla def. da noi 

 data della relazione numM = numf e alla def. di classe finita 

 del sig. Dedekind. 



Basti per ora questa esposizione sommaria, sulla quale 

 speriamo tornare con altri lavori. 



In altre note, valendoci dei risultati ottenuti in questa 

 memoria, ci occuperemo delle classi infinite e avremo da esporre 

 alcune osservazioni che crediamo di qualche interesse. 



Nell'esposizione facciamo uso delle notazioni di logica adot- 

 tate dal Formulario. Citiamo questo e " L'introduction au For- 

 mulaire „ con le abbreviazioni Form., Int. Form. 



{') Per la riduzione ai soli termini numero, uno, successivo, si veda 

 BoBALi-FoRTi, Logica matematica (Manuali Hoepli, pp. 130-139). 

 (*) I lavori citati dei sigg. Dedekind e Peano. 

 (') Logica matematica, Loc. cit., pp. 126-128. 

 (') Sul concetto di Numero, Loc. cit. 



