SOPI!\ rX TEOREMA DEL SIG. G. CANTOU 231 



crediamo possa introdurre alcun nuovo elemento per dimostrare 

 la A, poiché il tipo d'ordine è funzione astratta della classe or- 

 dinata, e questa, — insieme alla corrispondenza ordinata, che 

 permette di definire l'ente astratto tipo d'ordine, — si può de- 

 finire mediante i soli termini classe o corrispondenza ('). 



Esaminiamo ora a quali conseguenze conduce la riduzione 

 della prop. A a prop. esprimenti proprietà delle classi e delle 

 corrispondenze. 



Noi dimostriamo (§ 1), dando ai termini il significato loro 

 attribuito dal signor C, che la prop. A equivale al prodotto 

 logico delle due prop. seguenti: 



I. " Se u, e sono classi allora; o m è equivalente ad una 

 parte di v, ove equivalente ad una parte di u „. 



II. '' Se M, V sono classi, u è equivalente ad una parte 

 di r, ere equivalente ad una parte di u, allora « è equiva- 

 lente a e (-) „. 



(') C. BuRAi.i-FoHTi, Sulle classi ordinate e i numeri tninsfiniti (" Circolo 

 matematico di Palermo , , 1894). 



(') Con i simboli adottati nella nostra memoria " Le classi finite ,, le 

 prop. I, Il assumono la forma seguente: 



I. M, f € K . : M < t' • " . '■ < " 



li. !(, » e K . M <C f • !■ < M . . « o^ r. 



Queste sono appunto le prop. D, B, (rispettivamente) tlella nota al § 2 

 della citata memoria del sig. C. La prop. E, della stessa nota, è una sem- 

 plice trasformazione lojjica della prop. B, poiché in simboli diviene, 



H, r e K . M — =^ e . M < i' . . ?' — < «. 

 La prop. C esprime che 



«, r, w £ K . M '■ • "' " • '■ "^ "' • ■ " ^^ r; 

 ma questa equivale alla prop. 



u, »• 6 K . j< i' : iti e K M . w co if . — =,„ A ■' • « '^ *' 

 che a sua volta equivale alla prop. (Cfr. Classi finite, § 1, prop. 2) 

 u,veK.uOv.v<iu.O-u<^v 



che fe evidentemente un caso particolare della B poiché se w >■' allora u < ». 

 Delle prop. B, C, D, E del sig. C. solo le B, D sono distinte e non ci 

 sembrano riduttibili l'una all'altra, ma le C, E sono conseguenze logiche 

 immediate della B. Il sig. C. non accenna al fatto che A è equivalente al 

 prodotto logico di B per D. 



