232 CESARE BCUAI.I-FORTI 



Noi abbiamo dimostrate le prop. I. II quando «, v sono 

 classi Unite ('); vedremo {^ 2) che esse facilmente si dimostrano 

 quando o « o r è una classe numerai/ile; rimarrà da dimostrare 

 che esse sono vere quando « e e sono elassi infinite non nu- 

 merabili. In questo caso ammettendo una nuova prop. primitiva 

 per i concotti non definiti di classe e di corrispondenza (*) — e che 

 esamineremo nel § 3 — riusciamo a dimostrare la prop. 1, ma 

 non però la li, chi- nemmeno siamo riusciti a far dipendere da 

 altre prop. pili semplici da assumersi tome primitive. Il aig. C. 

 giustamente osserva che la prop. A non è del tutto evidente : 

 a noi non sembra nemmeno del tutto evidente la prop. II che 

 della A è parte. Non crediamo quindi cosa inutile proporre agli 

 studiosi di dimostrare, la prop. II, facendo uso delle proprietà 

 dei soli termini classe e corrispondenza, o determinare due classi 

 infinite e non numerabili u, v per le quali la li non sia vera. 



Esposta così la questione che forma principale oggetto di 

 questa nota, eseguiamo nel § 1 la riduzione di A al prodotto 

 logico di I e II e introduciamo nel § :{ la prop. primitiva me- 

 diante la quale si dimostra la prop. I. 



§ 1. In ciò che segue sottintendiamo, in generale, l'ipotesi 

 u, V sono classi non nulle. Al posto di " numero cardinale degli 

 « , scriviamo il segno N^'m. Al termine " parte di m , o ■■ classe 

 parziale di u , il signor C. (1. e. — § 1) dà il medesimo signi- 

 ficato di " classe contenuta in i* e diversa da u „, che in simboli 

 si esprime con la notazione K « <-> x€ (x - = h), o piìi semplice- 

 mente Kh-im. Segue da ciò che la proposizione 



(a). N/ » <; Ne' f . := .'. X e (K t; - i p) . a; e/5 M . - ^, \ : 



a;e(K« - i«). a-coc. ;=, V (l'ef) 



esprime, come dice il signor C, che " Il N/h è minore del N,'r, 

 quando esiste una parte di v equivalente ad u e non esiste una 

 parte di u equivalente a r ,. 



(') Cfr. ' Le classi finite ,, 1. e, § 3 prop. 1.5, § 2 prop. 1.5. 

 O ' Le classi finite ,, 1. e. 



