SOPRA VS TEOREMA DEI, SIC. G. CANTOR 233 



Facendo uso del segno < da noi introdotto nella memoria 

 Le dossi finite, la prop. (a) assumo la forma più semplice 



(8). Ne' M < Ne' y . ^ : « ■< t' . e - < «. 



Ricordiamo infatti che u<v significa che esiste una classe 

 contenuta in v ed equivalente ad k ('), cioè che a: e K f . x^ u . -=i \. 

 Ora l'equivalenza tra il secondo membro della (a) e il secondo 

 membro della (p) è resa evidente dalla prop. 14 del.§ 2 della 

 nostra nota Le classi finite, quando u e v sono classi finite; lo 

 stesso si prova (id. prop. IO, § 3) se una delle due classi u, v 

 è finita e l'altra infinita; finalmente se a, v sono classi infinite 

 si ha che 



M < V . = : xe{Ku - 1 1) . .r co m . ~ =^ \ 



poiché, per la definizione di classe infinita, esiste una parte di 

 r equivalente a r, e quindi se uc^v esiste anche una parte di v 

 equivalente ad u. In conseguenza i secondi membri delle (a), 

 (3) sono equivalenti. 



Dimostrato cosi che la prop. (P) equivale esattamente alla 

 prop. (a) del signor C, trasformiamo logicamente la prop. 



(t) Ne' U = Ne' cu. Ne' « < Ne' « . U . Ne' V < Ne' U 



che esprime che di due numeri cardinali uno di essi è o uguale 

 minore o maggiore dell'altro. 



Per la (S). la (f) equivale alla prop. 



(■f)' (m co v) .u . (m < V . V- < u) .u .{v < u .u- < v); 



eseguendo la somma logica dei due ultimi termini, si ha che 

 (f)' equivale a 



(y)" m co i- . u . {u < V . u . V < u) {u - < V .u . V - < u); 



{') Il che equivale esattamente a dire che (w f «) Sim — = A, perchè se 

 fi (r f u) Sim, allora fuiKv e ^m co u. 



