234 CESARE BCRAU-FOBTI 



distribuendo ai due fattori del prodotto il termine «cor, si ha 

 che (t)" equivale a 



(y)'" (mco r. u . M < r. (j.r < h)(iioo r. ui . M - < r. o . ?•— < m); 



ricordando ora che quando u<^r e anche u< r e r< m, il primo 

 fattore di (t)'" si semplifica, e troviamo finalmente che la prop. 

 (t) equivale a 



(« < r . yj .V < «) (« oo r . <j . M - < r . u . r - <' ii). 



Resta dunque cosi dimostrato che la prop.: ' Se a, h sono 

 numeri cardinali si ha che; o a = b, o a < b o a >b „, equivale 

 al prodotto logico delle due prop. seguenti: 



I. «. teK — 1,\ . 3 : u < » . vj . »' < M 



II. II. ce K — 1 ^^ . M < f . r < M . 3 . M co r 



§ 2. Nella nostra memoria: Le classi finite, abbiamo dimo- 

 strate le prop. I, II (§ 3, prop. 15; § 2 prop. l.ì) quando u, v 

 sono classi finite. Dimostreremo ora che esse sono vere anche 

 quando o m o r è una classe numerabile. 



Scriviamo Knum al posto di " classe numerabile .. Diciamo 

 che tt è classe numerabile (h e Knum) quando m è classe infinita 

 equivalente alla classe N dei numeri interi. In simboli 



K num = K inf n u £ ( K co N ( Def 



Qui giova ricordare esplicitamente i due seguenti teoremi del 

 signor C. 0): " Se m è una classe infinita, allora esiste sempre 



(') L. e, § 6, prop. A, B. La dimostrazione della prop. A data dal 

 sig. C. è la seguente : ' Se con una legge qualunque si sopprime da T 

 (il nostro u) un numero finito di elementi ti, tt, ... tr-i, vi è sempre la 

 possibilità di levare da esso un altro elemento tr. L'insieme / <r ( dove r 

 denota un numero cardinale finito qualunque è un insieme parziale di T il 



