SOPRA UN TEOREMA DEI, SIG. G. CANTOR 235 



almeno una classe numerabile contenuta in m . ; " Ogni classe 

 infinita contenuta in una classe numerabile è essa stessa nume- 

 rabile , ; in simboli 



M € K inf . . K » n K nuni - = A 

 «eKnum . j .Ku oKinfoKnum 



Ciò premesso ecco come si dimostrano le prop. I, II quando 



cui numero cardinale ò alef-zero {cioè ] tri i classe numerabile) , perchè 

 ìul^ìrl,. 



Questa dimostrazione ci sembra possa ridursi alla seguente, ove indi- 

 chiamo con Zn la classe i cui elementi sono i numeri 1, 2, ... n: 



(a) Essendo u classe infinita si ha che Zj < u 



(3) Se n è un numero intero e Z„ < u, allora anche Z„-i-i < ii, poiché 

 altrimenti m sarebbe classe finita. 



(T) Da (a) da (0) e dal principio di induzione si deduce che : qualunque 

 si sia l'intero n, Zn •< u. 



Si giunge così a dimostrare che 



Il 6 Kinf . : « « N . On . Zn <ii 



o sotto altra forma che 



(1) «eKinf.O.-. HeN.O„ :fi{u{Z„ÌSim. - =t' A 



Ma poiché qualunque sia n non può mai essere Z„ = N — perché Zn è 

 classe finita — , la (1) non dimostra ancora la prop. A del sig. C. Il lettore 

 può facilmente verificare che la A equivale alla prop. seguente 



(2) HcKinf.O.-.neN.Q.. ./"€(» fZ„) Sim : - =,• A 



' se u è classe infinita, allora esiste una corrispondenza f tale che, comunque 

 si fissi l'intero, n sempre f e corrispondenza simile tra i Zn e gli u , : mentre 

 la (1) si legge : ' se m è classe infinita, allora, comunque si fissi l'intero n 

 sempre si ha che esiste una corrispondenza simile /"tra i Zn e gli u ,. Le 

 prop. (1), (2) differiscono per la posizione della frase ' esiste una f ,. ma 

 non sappiamo come passare dalla (1) alla (2), mentre sappiamo fare facil- 

 mente il passaggio inverso. 



La prop. A del sig. Cantor si può dimostrare rigorosamente così. Es- 

 sendo « una classe infinita si definisca una classe normale formata con gli tt 

 in modo analogo a quello seguito quando u è classe finita (nostra nota, 

 1. e. § 3 prop. 1); facilmente si dimostra che se v è una classe normale for- 

 mata con gli u allora v è una classe numerabile; si dimostra pure facilmente 

 che esistono classi normali formate con gli « e quindi resta dimostrata 

 la A. Lo schema ora esposto della dimostrazione può essere sviluppato 

 imitando le prop. del § 3 della nostra nota " Le classi finite ,. 



