236 CESARE BORALI-FORTI 



una almeno delle classi u, v e classe numerabile: l" Se ueKiium 

 reKfin, allora è noto che v <u e u- <t, e quindi la I è vera 

 e la II, avendo l'ipotesi assurda, è pure vera; 2" Se «eKniim 

 e reKinf allora k < r e la I è vera, come pure è vera la 11 

 perchè se anche t- < m, r è classe numerabile e quindi equiva- 

 lente ad «. 



S 3. Ifesta ora per U- prop. I, li da esaminare il caso riie 

 M e e siano classi infinite non mumerabili {ti, reKint- Knum). 



Siene u, V classi non nulle, e supponiamo che comunque si 

 stabilisca la corrispondenza f tra gli u e i v sempre si abliia 

 che fu è diverso da v; cioè che rimangano sempre in v degli 

 elementi che non sono i corrispondenti di alcun elemento di ii. 

 L'intuizione permette di poter affermare che, in tale ipotesi, u < t 

 cioè che esiste una parte di r equivalente ad u. Ciò, — facendo 

 uso del principio d'induzione ^, facilmente si dimostra quando 

 u, V sono classi finite o una almeno di esse è classe numera- 

 bile. La dimostrazione è tanto semplice che ci risparmiamo di 

 scriverla. Non sappiamo però come dimostrare questa proprietà, 

 quando u, v sono classi infinite non numerabili. Ma poiché la ve- 

 rità enunciata ci sembra abbia il grado di semplicità e di chia- 

 rezza conveniente alle proposizioni primitive, ammettiamo che 



M, t'cKinf -Knum : fevfu . o^ . /"h - = r :Q : m < r l'pll 



Da questa prop. primitiva e dalla Pp I già ammessa nella 

 nostra memoria Le classi finite, si deduce facilmente, come ora 

 faremo, la prop. I del § 1 quando u, v sono classi infinite non 

 numerabili. 



Nella PpII trasportiamo il secondo fattore dell'ipotesi nella 

 tesi e la tesi nell'ipotesi; si ha 



(a) !/, ceKiiif- Knum . M -< r . : /"eifu ./"« = f . -=^A 



che esprime : ' se « non è minore di r allora esiste una corri- 

 spondenza f tra gli u \ r tale che fii = v ,. Se f è la corri- 

 spondenza di cui abbiamo affermata ora l'esistenza (restando 

 sottintesa l'ipotesi di (a)) e a; è un elemento di v, indichiamo 



