SUGLI ENTI PRIJIITIVI DELLA GEOMETRIA PROIETTIVA ASTRATTA 849 



La nota proposizione: 



P17. HpP16 . . Arma.è.c ~€(ac*)oiff uw, Teor. 



cioè ' l'armonico di e risp". ad a, b (diversi fra loro e da e) è 

 separato da e per mezzo di « e è , può adesso dimostrarsi in 

 modo, al tutto rigoroso senza scostarsi dai più comuni trat- 

 tati (*); e p. e. anche il postai". X^T si converte in teorema (**). 



6. Al postul". XVIII del preced''. articolo si può qui sosti- 

 tuire un principio di minor peso, che è: 



(XY) re[l I . a,è,c€r . a - = 6 . è ~ = e. e ~ = a . e? e(aèc): 3<i . 



.{adc)'^{abc); Pp. 



però che, grazie a P13. di qui si deduce tosto l'eguaglianza 

 (ade) = [abc). — Infine, a tutti i precedenti conviene aggiun- 

 gere il postul". della continuità del segmento (***), cioè: 



(XVI) re[l].«,ò,ce,-.a^ = Z,.è~=c.c- = a:^.A-eK[0]. 

 h,k ^ = /\ . h '■j k ^= (ab e) .'.xi.h .yek:Qx,u .yi.{acx):: 

 ■ '■ Ok.k '■•'■ z^{abc) .'. ue{abc) .zt {acu) :Q„.Me///. ve{abc). 

 .vi{acz):Q^.vek::~=-/\ Pp. 



(*) Ved. p. e. Reye, " Die G. d. L. „ V Abth. (2" Aufl.), S. 32. 



(**) Intorno a questo teorema che afferma in sostanza la possibilità di 

 due coppie non sofferenti una terza coppia armonica ad entrambe, è da 

 dire, ch'esso potrebbe — con una leggera modificazione della nostra defi- 

 nizione di segmento — adottarsi qui per assioma al posto di (XII); tenendo 

 poi circa alla suddetta P17 il modo adoperato in ;hi §11, e non alterando 

 sostanzialmente il resto. Ma, nella presente scarsità di criteri intomo alla 

 semplicità relativa di due proposizioni, si può preterirgli il (XII). — Si 

 avverta altresì che il postul. (XII) e tutti quelli che gli succedono, potreb- 

 bero, in forza del carattere projettivo dell'ente Arni, ridursi a proposiz'. 

 esistenziali, affermanti cioè l'esistenza di almeno un gruppo di tre punti col- 

 legati da certa relazione armonica; e queste proposi?.', si scriverebbero im- 

 ponendo a ciascuna delle (XII), (XIII), ... il predicato ' ~=r,a,6,f A ,. 



("») In mi XVIII. 



