SULL.4 DEFINIZIONE DEL GRUPPO FINITO 353 



dp di r, che sia distinto dal gruppo completo G, esiste in T un 

 altro elemento Gp+, seguente a Gp, cioè che contiene tutti gli 

 enti Gp e di più un altro ente di G distinto da essi (dirò in 

 seguito G„ precedente a G^o.), 



Del gruppo f egli, fra le altre proprietà, dimostra queste : 



1» r è finito (Prop. 9). 



2° Ogni elemento di f, eccetto l'unitario, ha il prece- 

 dente (Prop. 10). 



3» Di r fa parte il gruppo completo G (Prop. 11). 



4° In r si verifica il principio d'induzione (Prop. 12). 



5° Da ogni gruppo finito (secondo Dedekind) si può de- 

 durre un gruppo normale formato coi suoi enti (Prop. 13). 



3. E facile ora vedere che un gruppo finito (secondo De- 

 dekind) può rendersi semplicemente ordinato e limitato, nel 

 senso dato a queste parole nella mia Nota " Sulla catena di un 

 ente in un gruppo , (1) (e quindi è finito secondo la definizione 

 della mia Nota citata in principio). 



Infatti dal gruppo finito G si deduca un gruppo normale T 

 formato coi suoi enti, che esiste secondo la citata Prop. 13 del 

 prof. Burali-Forti : e si consideri il gruppo G costituito dagli 

 enti di G, ciascuno dei quali è o l'elemento unitario di f, o 

 l'ente che si ottiene da ciascun elemento di f sopprimendovi 

 gli enti dell'elemento precedente. 



Dimostro innanzi tutto che questo gruppo Go coincide con G. 

 I. Ogni ente di G comparisce in Gp. Invero, se a è un 

 ente di G che comparisce in tutti gli elementi di T, esso costi- 

 tuisce l'elemento unitario di f, ed è perciò in Go. Se a non 

 comparisce in tutti, dovrà mancare nell'elemento unitario, ma 

 non potrà mancare nel seguente di ogni elemento in cui manchi, 

 altrimenti per il principio d'induzione valido in f mancherebbe 

 in tutti, il che è impossibile non potendo mancare per lo meno 

 in G che è elemento di T. Allora, se Gj, è un elemento di 



(1) "Vedi questi ^ Atti „, anno 1895-96. — Cfr. anche i miei Fondamenti 

 per lina teoria generale dei (/ruppi, nel ' Periodico di Matematica per l'inse- 

 gnamento secondario ,, anno 1896. 



