^■^h4 RODOLFO BETTAZZI 



r in cui manca a senza mancare nel seguente, sarà a l'ente che 

 si ottiene da (jp^ sopprimendovi Gp, e comparirà quindi in 0,. 

 11. Ogni onte di G comparisce una sola volta in (ig. 

 Perchè se comparisse piìi di una volta, si avrebbe, p. es., una 

 volta da 0^4. sopprimendovi ti,, un'altra da ti,+ sopprimendovi ti,, 

 dove G, è distinto da G,, e quindi (§ 1) di potenza disuguale. Se 

 p. es. è 6, di potenza minore a G,, sarà G,+ di potenza minore 

 od equale a Gp, e quindi (§ 2) parte di G^, talché G, conterrà 

 a contenuto già in G,+ , e non potrà essere a l'ente che si ot- 

 tiene da Gp^. sopprimendovi Gp. e. d. d. 



In tale gruppo Go ^= G si prenda come ente (immedia- 

 tamente seguente) di un ente a, proveniente dal sopprimere 

 Gp in Gp+, quello proveniente dal sopprimere nel seguente di 

 Gp+ il seguente Gp+ di Gp, e come ente originario quello costi- 

 tuente l'elemento unitario di T. Sarà allora ti chiaramente bene 

 ordinato; e sarà anche limitato, essendo suo ente finale quello 

 ottenuto sopprimendo in G (elemento di f) il suo precedente. 

 Sarà inoltre catena del suo ente originario, cioè (1) varrii in 

 esso il principio d'induzione, il quale vale in P. 



Queste proprietà sono appunto quelle richieste, e dimostrano 

 il teorema. 



Con tale teorema si riconosce nei gruppi finiti del Dedekind 

 quella ordinabilità a cui alludevo in principio, ed è tolto quel 

 dubbio di cui facevo parola (§ 1). 



4. Ai gruppi infiniti del Dedekind (gruppi di ugual potenza 

 con una loro parte propria) avevo nella mia Nota ' Gruppi finiti 

 ed infiniti di enti , dato il nome di gruppi sviluppabili, dimo- 

 strando che: 



a) i gruppi finiti secondo la mia definizione (gruppi che 

 possono rendersi semplicemente ordinati e limitati) sono tali 

 anche secondo quella del Dedekind (Teorema, § X della mia Nota): 



b) i gruppi infiniti nel senso del Dedekind (sviluppabili) 

 sono tali anche nel senso usato da me (§ 10 Cor. 2°, ivi); 



delle quali proposizioni, equivalenti fra loro, restavano dubbie 

 le inverse. Ma il teorema del § 3 mostrando che ogni gruppo 



(1) Vedi mia Nota cit.: Sulla catena di un ente in un gruppo, § 12, Cor. 2°. 



