472 ANOEUJ RAMORINO 



x' y' 



y = -'^^(h,-h^){h,-h,)(ìu-h,)(h,-h,){h,-h,)(h,-h,)x" f 



X y 



ove x' y' z', x" sono le derivate 1», 2*, 3* di xyz rispetto a t. 



Evidentemente il Sig. Darboux coli' asserire che il volume 

 MiMtMjM) ha V espression» trorata quati'lo si trascurino 'juelU 

 certe quantità, vuole intendere — ne saprei dare altra inter- 

 pretazione al suo concetto — che è 



(a) lim 



xyz 

 M, M,M,M( 1 



(A. -A,) ...(A, -A,) 72 



x" v" z- 



.r'" y'" z'" 



ove il limite si prenda col far tendere le h, a zero. 



Ora: questo — come risulterà dalle cose che verrò espo- 

 nendo — è vero; ma la dimostrazione su citata non è sufficiente 

 a farne risaltare la verità, in quanto che in essa l'autore non 

 tien conto di quantità, che non è permesso di trascurare. In vero, 

 per potere, anzi tutto, parlare di limite d'una funzione di piìi 

 variabili che, come la quantità trascurata dal Darboux. sia il 

 rapporto di due funzioni annullantisi contemporaneamente per 

 i valori considerati delle variabili, non vedremmo altra via 

 praticabile che quella di ricorrere al Teorema, che dà l'esistenza 

 del limite per un siffatto rapporto quando il denominatore sia 

 vma forma definita delle variabili e il numeratore una funzione 

 di grado superiore a quello del denominatore. E questo non è 

 il caso, non essendo il denominatore, — cioè il prodotto (/14 — /ii)... 

 (ht — /il), che indicheremo con n(/ii ìu h, h,) — una forma definita. 



Ma c'è di più. Nel caso attuale, data appunto la forma 

 .speciale del denominatore nella quantità trascurata dal Darboux. 

 si può dimostrare che questa quantità, col tendere a zero delle A,, 

 non ha per limite lo zero. 



Facciamo in fatti /i, = A, -|- '»[. h = hi -\- h\ , A, = /i, -j- ìi[, 

 essendo rst numeri interi positivi arbitrari, grandi a piacimento. 



