SOPRA ALCUNE PROPRIETÀ DELLE CtJRVK NELLO SPAZIO, ECC. 473 

 Allora il rT(/(., /(j /(, /i|l diviene 



(h, - A,) ... (/». - A,) = /(!+'+' W - h\){K - K){h\ - K) 



e, quindi, è infinitesimo con /i, d'ordine superiore ad r-|-s-t-^ 

 ossia d'un ordine n tanto grande quanto vogliamo. Ora: perchè 

 il rapporto trascurato avesse per limite lo zero, dovrebbe il 

 numeratore essere una funziono infinitesima con h^ d'ordine su- 

 periore ad n. ossia, sviluppato secondo le potenze crescenti di hi. 

 dovrebbe cominciare con un termine di grado superiore ad n 

 e però tanto alto quanto ci piace. Il che in questo caso non 

 accade, avendo il Darboux trascurato le potenze di hi superiori 

 ad una data e, precisamente, superiori alla terza. 



La relazione (a) è, in vece, suscettibile di dimostrazioni 

 completamente rigorose. Già fin dal 1887 il Prof. Peano, nelle 

 sue Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale, era giunto 

 a questa relazione, senza nulla trascurare, mediante le funzioni 

 interpolar!. 



Io qui mi propongo di darne un'altra dimostrazione, evi- 

 tando l'uso di queste funzioni, e ricorrendo in vece alle forme 

 geometriche. 



2. — A tale uopo, stimo opportuno di premettere alcune 

 considerazioni, alcune proprietà, le quali è bene siano chiarite, 

 precisate, nettamente distinte fra loro. 



Definizioni. — a) Dati dei numeri Ki Kj in numero finito 



od infinito, diciamo che il numero k è medio tra essi, se k è 

 non maggiore del limite superiore e non minore del limite in- 

 feriore dei numeri dati. 



P) Dati dei volumi ViV,... in numero finito od infinito, 

 diciamo che il volume V è medio tra essi, se, detto U il volume 



unita, il numero -=- e medio tra i numeri ^ , -=- > 



t) Diciamo, in fine, che una forma geometrica qua- 

 lunque cp di 1°, 2» 'i° grado è media tra le forme, in numero 



finito infinito, (pi (p» dello stesso grado di cp, per intendere 



che. per qualunque scelta della superficie o linea o punto P. 

 il volume «pP è medio tra i volumi cpiP, cp^P 



