SOPRA ALCUNE PROPRIETÀ DELLE CURVE NELLO SPAZIO, ECC. 47. ''i 



t'alio f^tt e avente derivata in tutto questo intervallo, si annulla 

 aijli estremi t-xti di esso, zero è medio fra i valori di f nell'in- 

 tervallo medesimo „. 



La dimostrazione si deduce immediatamente dal Teorema I. 



Teorema ITI (generalizzazione del precedente). — "Se una 

 forma geometrica di grado qualunque f(t), funzione della varia- 

 bile numerica t, avente le successive derivate ff ... f"\ si annulla 

 per n -\- 1 valori <i<8...<„+i della variabile, un valore medio tra 

 i valori di f"Hf) per t compreso tra titi...t„^x è lo zero „. 



La dimostrazione si riduce tosto, come s'è fatto per il 

 Teorema I, a quella del Teorema corrispondente sulle funzioni 

 numeriche, moltiplicando la forma considerata di 1", 2" o 

 3" grado f{t) rispettivamente per una superficie, linea o punto 

 qualunque P. In fatti, allora il volume fP, ch'è una funzione 

 numerica della variabile numerica t, avente le successive deri- 

 vate /"'P, /'"P ... /"'"'P, e che si annulla per gli n -{- 1 valori 

 ti ti ... t„+i della variabile , è suscettibile dell' applicazione del 

 Teorema sopra ricordato, generalizzazione di quello di Rolle; 

 avremo, cioè, che il volume /''"'P si annullerà per un valore 

 di t compreso fra titi ... f„_^.i ossia zero sarà medio tra i valori 

 di /"'"'P per t compreso fra ti ti ... t,,^^ e, però, che zero è medio 

 tra i valori di /"'"'(?) per f compreso fra ^ ti ... t„+ì. 



Da questa proposizione segue immediatamente il 



Teorema IV. — " iS'e una forma geometrica di grado qua- 

 lunque f{t), funzione della variabile numerica t avente le successive 

 derivate /"'/""— f'"'. si annulla per n valori titi...t„ della varia- 

 bile, si ha la relazione 



m = 77 (« - {t - h) ... (i - QK, 



essendo K una forma geometrica dello stesso grado della f{t) e 

 media fra i valori di /"'"'(<) per t compreso fra ttiti.-.t,, „. 



In fatti, indichiamo con K una forma geometrica dello stesso 

 grado della f{t) e tale che per un altro valore t^ di t, diverso 

 da #1 ti ... t„, si abbia 



f(to) - TT (<» - <') ((" - *^) - ('" -QK=0. ( I ) 



