SULLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 791 



Una tale funzioue uu si dirà ottenuta dalla z (e l'equazione 

 in uj da quella in z) mediante una trasformazione integro-diffe- 

 renziali\ Alla teoria di queste trasformazioni si riconduce lo 

 studio (da me omesso nel lavoro ricordato) della composizione 

 delle trasformazioni integrali e la ricerca delle relazioni tra 

 due diverse trasformate della funzione z (e della sua equazione). 

 Per il loro studio servono i concetti fondamentali già svolti 

 da me nella teoria delle trasformazioni differenziali ed integrali, 

 ed i risultati ivi ottenuti, che avrò più volte occasione di ri- 

 chiamare ' '. 



Ho diviso il lavoro in duo parti: nella prima, che forma 

 l'oggetto della presente nota, do gli elementi caratteristici delle 

 trasformazioni integro-differenziali ; nella seconda, che farà se- 

 guito prossimamente, ne studio ulteriori proprietà e do in par- 

 ticolare le relazioni che le legano alle trasformazioni differen- 

 ziali ed integrali. 



§ I- 

 Il teorema fondamentale. Le trasformazioni generali. 



1. Sia, colle notazioni di Monge: 



(1) A (z) = ar + 2bs + cf + 2dp + 2^2 + /"^ = 

 l'equazione data, ed: 



(2) iu = 2a,i^,i + 2PiAi 

 (dove 



(=^) ^'^ = i^ ' ^' = J P' '^^ + Q' ^y) 



una sua trasformata integro-differenziale, che per ogni valore 

 di z integrale della (1) soddisfa quindi ad un'equazione: 



(4) P(.)=. Ag+2Bg--^+cg^4-2D|^+2E^^ + F.^0. 



(') Cfr. Sulla trasformazione delle equazioni lineari del secondo ordine, ecc. 

 (" Annali della R. Scuola Normale Sup. di Pisa ,, 1897). Nei frequenti ri- 

 chiami a questo lavoro lo indicherò colla lettera T. 



