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E chiaro allora innanzi tutto, che, essendo ognuno degli 

 integrali A, determinato solo a meno di una costante additiva 

 arbitraria, ciascuna delle funzioni Pi sarà una soluzione parti- 

 colare della (4); si avrà cioè: 



(5) P(B,) = 0; 



sarà quindi più opportuno, per rammentare questa proprietà, 

 scrivere uj, al posto di Pi. 



Inoltre la condizione d'integrabilità per ciascuna delle fun- 

 zioni Al sarà soddisfatta in forza della equazione in r : essa 

 avrà dunque la forma : 



donde, con un ragionamento noto '", segue che la u, è una so- 

 luzione particolare della equazione aggiunta della data: 



(7) «t» (») = '^"-','*- + 2 41<M + iVu) _ 2 iWu) _ 2 ÌM +/-„=o. 

 ' ^ ' òx' ' dxììy di/' dx dy ' 



od anche: 



(-.) » „„ =a g( + 2S ;;^j +c +2Ì, Il + 2„ ^^+^=0. 



Questa soluzione u. si può di piìi supporre diversa da zero ; 

 altrimenti, a meno di parti identicamente nulle, P, e Q, sareb- 

 bero le derivate di una funzione lineare omogenea in ^ e nelle 

 sue derivate, e quindi l'integrale A; sarebbe soltanto apparente. 

 Da formule note si ha allora: 



P,= „,A,(^)-2 0.{«,) + -|^; 



(8) : 



essendo A,, <t>, le componenti del 1° ordine ''' delle due espres- 



(') Vedi Dabdoux. t. II, pag. 72 e 181. 

 (') Cfr. T. cap. I, n. 2. 



