SULLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 793 



sioni differenziali A(^) e <t>{u), e 9i un aggregato lineare omo- 

 geneo in z e nelle sue derivate. Introducendo allora queste fun- 

 zioni Qi nella parte esplicita di uj. questa prenderà la forma : 



(2*) (ju=Za.v2,k+Z,iu,J)uA(^)-50j(«,)((^x— JM,Ai(2)— ^0,(«,)l<^y, 



i 



alla quale possono anche sostituirsi infinite forme equivalenti, 

 nelle quali però sotto il segno integrale compariscono soltanto 

 la ^ e le sue derivato prime. Ma, tranne in casi particolari, 

 noi riterremo sempre la forma (2*), che diremo normale. 



Possiamo di piìi supporre che le funzioni uj, e le m, siano 

 (rispettivamente) linearmente indipendenti, altrimenti potrebbe 

 diminuirsi il numero degli integrali A, ; ed anche nella parto 

 esplicita di uj possiamo supporre siano state fatte tutte le pos- 

 sibili riduzioni, usando della equazione in 2 e delle sue derivate: 

 di guisa che, quando la uj sia scritta sotto la forma (2*), noi 

 riterremo sia p il numero minimo di integrali A, atto ad espri- 

 merla ; e se nella parte esplicita sarà < i + fc < m, supporremo 

 che le derivate di z dell'ordine m vi figurino in modo essemiale, 

 non possano cioè venire eliminate per mezzo dell'equazione in z. 

 Diremo allora m ep i numeri caratteristici della trasformazione, 

 che indicheremo brevemente col simbolo [/«, p\. 



In particolare una [/w, OJ è una trasformazione differenziale 

 dell'ordine m ; una \jn, 1], una integrale dell'ordine m-j-l '". 



2. Sia dunque una trasformazione [w, p\ : 

 (9) UJ = :Z a.iz.fc + li u), A, (0 < i + A; < m). 



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Osserviamo allora che, soddisfacendo per ipotesi la ^ e la uj 

 (rispettivamente) ad un'equazione del secondo ordine, per ciascuna 

 di queste funzioni soltanto due tra le derivate del medesimo or- 

 dine, qualunque esso sia, sono indipendenti: le altre si esprimono 

 linearmente ed omogeneamente per queste e per quelle di ordine 

 inferiore. Sostituendo inoltre nella (4) (e in tutte le sue derivate) 



(') Cfr. T. cap. II, n. 7 e cap. III. n. 26. 



