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respressioni di lu e delle sue derivate, dedotte dalla (9), si ha 

 evidentemente un" identità. Segue di qui immediatamente, che, 

 ove nella relazione (9) e nella (1) si consitleri la uu come nota, 

 la z come funzione incognita, e se accada che dalle successive 

 derivate della uj e della (1) si pervenga a trarre tutte le deri- 

 vate di un certo ordine della z in funzione di quelle di ordine 

 inforiore. degli integrali A,, e di quelle della lu; il sistema di 

 relazioni considerato è un sistema completo '"; che gode cioè 

 della proprietà caratteristica che ogni ulteriore derivazione in- 

 troduce tante nuove derivate della funzione z a rnlrolare, quante 

 nuove relazioni. Si noti infatti che ogni ulteriore derivazione 

 porta in fondo soltanto due nuove derivate della z e della \u, e 

 le due relazioni ottenute sono indipendenti per l'ammessa riso- 

 lubilità rispetto alle derivate di z di ordino superiore. 



Dopo questo è facile procedere oltre. Deriviamo infatti la 

 (9) rispetto ad a; e ad y ed aggiungiamo a queste due relazioni 

 quelle che si ottengono derivando la A(-)=0 fino all'ordino ni — 1. 

 Queste relazioni .saranno, por la ipotesi fatta, risoluliili rispetto 

 alle derivate della z di ordine m-\-l; ed allora il sistema di equa- 

 zioni ai differenziali totali nelle funzioni A,, z, ^j^, Zou-- z„o,--Zom'- 



' dA.= ]uA{z)-z<Ì>,(u,){dx-\uAXz)-z<t>,{uXdì/ i=ì,2...p 

 ' dz,i = ^i+i,» dx -\- 2,,i4.i dy; S^i -\- k ■< m 



(10) 



= 2a,.^. + iu,,A,; ^^f = 0; 0<m + v<»«--2 



dove per le derivate di z dell'ordine m -1- 1 si intendono poste 

 le loro espressioni date dalle relazioni superiori, sarà senz'altro 

 integrabile; ed il suo integrai generale conterrà (linearmente) 

 l^=2m-\-p costanti arbitrarie ai, «e ...«,, delle quali si potrà 

 disporre in guisa che l'integrale z, le sue derivato fino all'or- 

 dine m, gli integrali A,, prendano in un punto del campo i va- 

 lori più generali che soddisfano alle relazioni finite tra le (lo). 

 In particolare dunque z avrà la forma : 



z = 7j -{- «1^, -|- ntZi-\- -\-aiZi, 



(') Cfr. T. cap. I, n. .5. 



