SULLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 795 



essendo Z, ^i...^i soluzioni particolari dell'equazione in z. Ne 

 segue, per un ragionamento noto, che uj dovrà annullarsi per 

 le soluzioni particolari z ^^ z^ dell'equazione data ed essere de- 

 terminata da questa condizione a meno di un fattore di propor- 

 zionalità '". 



Abbiamo ammesso implicitamente che sia »« =1= : ma il ra- 

 gionamento non varia per m = 0. In questo caso, per lo ipotesi 



fatte, le due derivate ^-, .," danno esse p % q m funzione di z, 



e degli integrali A,; e in modo perfettamente analogo a quello 

 superiore concludiamo dovere uu annullarsi per p soluzioni par- 

 ticolari dell'equazione in z ed esser determinata da questa con- 

 dizione a meno di un fattore di proporzionalità. In ogni caso, 

 sia .•« no diverso da zero, potrà la lu scriversi sotto forma 

 di determinante, posto l := 2m -\--p : 



Z 010 2(11 ZiD Zdi Z„Q Zum A[ Aj Aj, 



Z\ (2l)lO (2l)oi (•^1)20 (•^l).! (■2l)".0 {*l)om A[ k\ A^ 



(11) UJ= 08 (0,),o (0o)oi (0j),o (0s)o2 (^2)^,0 (^sk A-! Ai A^ 



Zi (Zì)w (Slìoi (^1^80 (0l)o8 (^l)mO [Zlì^m A{ A^ A}, , 



essendo ^i Zi le soluzioni particolari che annullano uj ed: 



(12) Af = \\uMz,)- zMii)\dx - \uMz,)~z,<Ì>{u,) f dy <='. 



3. Queste condizioni, che abbiamo ora trovate necessarie, 

 sono inversamente anche sufficienti : cioè una funzione uj come 

 la (11) soddisfa effettivamente per ogni valore di z integrale 

 della (1) ad un'equazione lineare omogenea del secondo ordine. 



(•) Ctr. T. cap. Il, n. 8 e 13. 



La forma (11) di uj suppone che neirequazione in z sia il coeffi- 

 ciente medio b diverso da zero: ma si osservi che essa non è caratteri- 

 stica e si possono sostituirle altre forme equivalenti (come pure si dovrà 

 fare quando sia 6 = 0). In fondo su questa espressione di uj valgono delle 

 osservazioni affatto analoghe a quelle svolte in T. cap. II, n. 17. 



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