796 ONORATO NICCOLETTI 



Terremo per dimostrare la nostra asserzione un metodo perfet- 

 tamente analogo a quello che abbiamo detto di Liouvillo per le 

 trasformazioni differenziali od integrali "'. 



Indichiamo con Zi+, un'altra soluzione dell'equazione in z, 

 opportunamente scelta; e scriviamo nelle funzioni ri,t, ...r,+, il 

 sistema di equazioni lineari: 



ij-i i+i 



(13) 2,i,= 2,Wii»<; A,= 2,A;t),; 0<i-(-fe<m; s=l,2...p. 



Queste equazioni, a causa della /\(z)=i), si riducono appunto 

 ad i-j-1 indipendenti; quindi, poiché l'ulteriore soluzione ^lo., si 

 può sempre riguardare presa in modo che il determinante di 

 questo equazioni sia diverso da zero, esse determinano t"i, r, ...ri+i, 

 in funzione lineare omogenea di z, delle sue derivate fino al- 

 l'ordine m e degli integrali A, : ed in particolare è chiaro che 

 sarà r,xi proporzionale ad ai e quindi si potrà fare senz'altro ad 

 essa uguale. 



Conviene allora distinguere i due casi di »i = ed m=4=0. 



Nel primo caso lu avrà la forma: 



<\■^^ lu = a ? -L- 1, uj, A, 



1 



(potendo anche essere a=0); ed allora le (13), le prime tra le 

 quali si riducono ad una sola, danno, derivate, le relazioni : 



p = %p,v, + ^,z,-r-; q = ^,q, V, - 2, s, .-- : 



1 



òx ' ^ — ^'i'-' ^>-> a» 



òx 



> T < I T A/ d»! dAi _ °K 1 _, Al dpl /■ 1.-1 V 



r=2'l^''' + ^'^' di' ^=2,^r.+2.A.-^^; (.=l,2...p) 

 e quindi anche le altre: 



(15) ii = l.-2...p) 



(') Cfr. T. cap. II, n. 18 e cap. III. n. 41. 



