SULLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 797 



le quali costituiscono un sistema di 2p relazioni lineari omo- 

 genee nelle '2p-\-2 derivate prime delle funzioni t?,, t'j...t'yj.i, e 

 sono tali di piìi che permettono di esprimere le derivate di ;; 

 tra le funzioni r, linearmente ed omogeneamente per quelle di 

 una qualunque tra esse '". Questo dimostra che una qualunque 

 delle funzioni i;, in particolare la (pi,, (e quindi anche la uu) 

 soddisfa ad un'equazione lineare omogenea del secondo ordine, 

 la quale si ottiene scrivendo la condizione d' integrabilità per 

 una qualunque delle prime p funzioni i\. Segue anzi di qui che 

 l'equazione in r^^ (e quindi quella in w) può essere scritta 

 sotto p forme diverse, a ciascuna delle quali corrisponde una 

 soluzione particolare 0, dell'equazione aggiunta. Ed un processo, 

 simile a quello tenuto nelle trasformazioni differenziali ed in- 

 tegrali '*', darebbe facilmente i rapporti di queste soluzioni ()i. 

 Oj... Op. Noi daremo questi rapporti nel caso più semplice di 

 m =i= 0. 



In questo caso infatti le (13) danno: 



(16) ^,{2.h^ = 0; ^:iz,u\';- = 0; Osii-k^n,-h 



\ 2.|(2()m-,,i-^ — Ui)m-.-i.,+i^|==0; i = 0,l...w — 1: 



le quali danno in tutto 2(2)n-(-^j)= 2i relazioni lineari indipen- 

 denti nelle 2{l-\-l) derivate delle fimzioni r„ e quindi permettono 

 di esprimere le derivate di / qualunque tra esse , ad es. delle 

 prime l per quelle dell'ultima r,_i.i; donde segue di nuovo, come 

 nel caso superiore, che la Vi^i (e quindi la lu) soddisfa effetti- 

 vamente ad un'equazione lineare omogenea del secondo ordine. 

 Ed anche qui è chiaro che questa equazione può scriversi sotto 

 / forme diverse, alle quali corrispondono altrettante soluzioni 

 particolari Oi, Oj ... 0, dell'equazione aggiunta a quella in lu. 

 Ed un calcolo puramente algebrico, affatto analogo a quello 

 delle trasformazioni differenziali ed integrali '*', dimostra le re- 

 lazioni : 



(') Cfr. T. cap. II, n. 11. 

 (») Cfr. T. cap. II, n. IS. 



