798 ONORATO NICCO LETTI 



(17) 2,A:0,=0; 2.(2,WO, = 0; i = l,2...p; (x n-f v^ffi - 1 : 



che danno i mutui rapporti delle funzioni <),. E cosi dimostrata 

 la nostra asserzione '". 



La forma (11) di uj fa anche conoscere le p soluzioni par- 

 ticolari (ju, dell'equazione in tu; esse non sono che i minori com- 

 plementari degli integrali A, nel determinante (11). Si osservi 

 inoltre che ognuno degli integrali A,' (i=l,2...p, k =l,2...l) 

 è determinato solo a meno di una costante additiva arbitraria; 

 e potremo allora enunciare il teorema fondamentale: 



Ad ogni sistema di l ^= 2m-\-p soluzioni particolari deU'eijua- 

 zione data e di p dell'aggiunta corrisponde una serie ce''' {dipen- 

 dente da pi costanti arbitrarie) di equazioni lineari omogenee del 

 secondo ordine, per ognuna delle quali l'integrai generale lu è 

 dato dalla (11); le costanti arbitrarie sono quelle contenute negli 



(') Questa seconda parte, la dimostrazione ciofe che le condizioni tro- 

 vate come necessarie sono anche sufficienti, può anche farsi col metodo te- 

 nuto dal Darboux (Le^ons, voi. II, pag. 170) per le trasformazioni im, ni. 



Se la funzione u> si annulla per 2m -|- p soluzioni particolari dell'equa- 

 zione in z, è facile vedere che si pub formare un aggregato lineare omo- 

 geneo delle derivate prime e seconde di «u: 



che contiene ancora le derivate della z fino all'ordine m e gli integrali Ai, 

 e che annullandosi, come u>, per le stesse soluzioni dell'equazione in z, h 

 ad UJ proporzionale; si ha cioè un'equazione del secondo ordine in u>: 



^x- dxOif Oy- dx '^y 



Un risultato perfettamente simile vale nel caso in cui sia «i = 

 (cfr. T. cap. IV, n. 4.5 e ss.). 



Questa seconda dimostrazione fa vedere inoltre (il che del resto risul- 

 terà per noi da considerazioni ulteriori) che l'equazione in lu ha nelle de- 

 rivate seconde i medesimi coefficienti a,2b, e dell'equazione in z. 



Però la dimostrazione di Liouville, sebbene meno diretta ed anche un 

 po' artificiosa, fa conoscere quelle soluzioni 0. dell'equazione aggiunta a 

 quella in w, la cui importanza sarà manifesta nel seguito (cfr. i § VI, VII 

 della nota presentata alla R. Accademia il 13 giugno 1S97). 



Un'osservazione perfettamente simile vale per le trasformazioni singo- 

 lari (Cfr. T. cap. IV). 



