SULLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 799 



integrali Af, e per ognuna di tali equazioni si conoscono inoltre 

 p soluzioni particolari dell' enuazione stessa, l = 2m-\-2) dell'ag- 

 giunta. 



Una qualunque di queste funzioni tu si ottiene dalia z con 

 una trasformazione [m, p], che diremo generale, avendo riguardo 

 alla ipotesi fatta, che il sistema di relazioni considerato fosse 

 risolubile rispetto alle derivate di z di ordine massimo: il teo- 

 rema superiore può allora anche enunciarsi: 



Una trasformazione [m, p] generale !■ individuata da 2m-\-p 

 soluzioni particolari dell'equazione data e da p dell'aggiunta. 



§11. 

 Le trasformazioni singolari. Loro divisione in due classi. 



4. Abbiamo supposto fin qui che le due dei'ivate della uj, 

 combinate colla A{zì^O e colle sue derivate, dessero il modo 

 di esprimere le derivate della z di ordine massimo in funzione 

 di quelle di ordine inferiore, della uj e degli integrali A,: e le 

 trasformazioni corrispondenti, caratterizzate dal teorema supe- 

 riore, abbiamo chiamato generali. Consideriamo ora il caso che 

 questa ipotesi non sia pili soddisfatta: chiameremo singolari le 

 trasformazioni che otterremo. 



Conviene perciò distinguere i due casi di m=l=0 ed m=^0. 



Nel primo caso, un ragionamento affatto identico ad uno 

 già fatto per le trasformazioni differenziali ''' dimostra che per 

 le equazioni del tipo ellittico non possono esistere tali trasfor- 

 mazioni singolari: possono invece esistere per le equazioni dei 

 tipi iperbolico e parabolico. 



Quando invece sia ot = 0, cioè uj abbia la forma: 



(14*) uj:=a2-f S.uu.A,, 



si avrà una trasformazione singolare quando le due derivate 

 T-, r^ non siano risolubili rispetto a ^ e a 5 , quando cioè si 

 abbia : 



(') Cfr. T. cap. II, n. 14. 



