SULLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 801 



dove: 



(21) a,=luAi{z)dx-{- z(t>i{u,)d!/—^ uip-\-bz)dx-\-z ^ — — au.jdy 



è il simbolo di una delle due trasformazioni integrali singolari 

 del 1" ordine delle equazioni del tipo iperbolico "'. 

 Conviene allora distinguere tre casi : 



a) i numeri m ed n sono tutti due diversi da zero; 



b) uno solo di essi lo è; 



e) tutti due i numeri m ed n sono uguali allo zero. 

 In quest'ultimo caso, dovendo essere soddisfatta la (18,,) (la 

 quale però è relativa alla forma di ui che abbiamo chiamata 

 normale), dovrà lu aver l'una o l'altra delle due forme: 



(20*) lU = lJU,ffi-]-UU2(Js+ ... +UJpap; tu = UJiTi-f-U)2T2 -}-... -f-UJpT^ 



dove: 



(22) T,=j z(t>t(u,)dx-\ruA{z}d!/ =\z i^ — bu^dx + u,(q -\-az) dy 



è il simbolo dell'altra trasformazione integrale singolare del 

 1" ordine dell'equazione in z. 



a) Siano ambedue i numeri m ed n diversi da zero. 

 La (19), la (20), e l'equazione in uj formano ancora un si- 

 stema completo; derivando quindi la funzione ui rispetto ad x 

 e ad y, potremo ottenere 2„a.i,o, ^o,n+i in funzione delle derivate 

 della stessa forma e di ordine inferiore, degli integrali A, e 

 delle derivate di uj. Ne deduciamo, con un ragionamento affatto 

 identico a quello del caso generale, che uj dovrà annullarsi per 

 l = m -^ )i-\- p soluzioni particolari, linearmente indipendenti, 

 dell'equazione in z ed essere determinata da questa condizione 

 a meno di un fattore di proporzionalità; potremo dunque scri- 

 verla sotto forma di determinante: 



(23) u) = 



Z Zio ^10 ••• ^mO •^Ol ■2^0? •■• ^On *^1 ^I ••• ^p 



Zi (2!l)l0 (-JOsO - (^l)nO {Z.ìol (^l)o! ■•• (^l)on <j} O] ... O^ 



Zi {Zl)lO {z,)to ... (2ì)mO (ZÌJOI {Zììoi ... («l)or, O'i O'i -.■ 0^, 



(') Cfi-. T. cap. m, n. 27. 



