SULLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 803 



particolari dell'equazione in ?: quando sia invece A=0, ponendo 

 p-\-bz = z', l'espressione di lu diventa: 



(26*) uj=a',?'+a,5',„4'-+a"~'-"-i,o+uuia'i4-iUsO's-l-...+ ujya'y; 



e si può quindi ripetere per la z' il medesimo processo. Ne 

 concludiamo che la tu o si annullerà per ìn-\-p — k soluzioni 

 particolari di una conveniente trasformata di Laplace 2'"'' della z 

 (e quindi anche per altrettante soluzioni dell'equazione in 2); 

 oppure quando sia k = m, essa avrà la forma : 



(26**) uj = \5""> 4- ujiffl"" + Wifff'» + ... + ujX'"'; 



si dedurrà cioè dalla z'"' con una trasformazione [0, p]. Sono 

 allora possibili due casi: questa trasformazione è generale 

 ed allora la uj si annulla per p soluzioni particolari della equa- 

 zione in 2'""', e quindi anche di quella in z ; oppure questa tras- 

 formazione è singolare ed allora appartiene a quelle che dob- 

 biamo ancora discutere. 



E chiaro inversamente che queste coudizioni, oltreché ne- 

 cessarie, sono anche sufficienti '". 



e) Siano infine i due numeri m ed n ambedue uguali allo 

 zero. Scriveremo allora w sotto la forma: 



(27) ui = uJiffi + ^iOi -f ... 4- ujpffp. 



Calcolando allora le derivate prime e seconde di lu : 

 ì ò'" t \ j. \^ I — duu, diu _ ^ , ■, I _ diui ^ 



' _ = (p+fe)2io.M.+^ — a.; — =^2uj.(D.(M.)4-2-j^<J,; 



(28) 



^- = »-2uj.M. + ap -j- Pj -L 2 ^^, a, ; 



(') Basta infatti occuparsi del caso che non vi siano delle trasforma- 

 zioni di Laplace e in questo caso il ragionamento è quello precedente. 



