801 ONORATO XICCOLBm 



è chiaro elio, ((uando sia I?u), 4>, fi/,) =^!=0, anche l'equazione in w 

 apparterrà al tipo iperbolico ed avrà la forma normale ed inoltre 

 il sistema formato dalle (19), (27) e dalla equazione in \u sarà al 



solito un sistema completo. Traendo allora dalle derivate ^ , ^ni- 



r e ^ in funzione di z e Ai p e degli integrali 0„ ne deduciamo 

 ancora che \u dovrà annullarsi per p — 1 soluzioni particolari 

 dell'equazione in z. 



Quando sia invece ztUi ^i (u.) = 0, ponendo z' =p-\-bz, ed 

 indicando con ii' V integralo della equazione aggiunta a z', si 

 avrà : 



(27*) u> = 2uj.t'. 



colla condizione ulteriore Ziu.u', = 0; cioè la w si deduce dalla z' 

 con una trasformazione singolare della seconda classe. Inversa- 

 mente le condizioni trovate ora come necessarie sono anche 

 sufficienti. 



La discussione completa delle trasformazioni singolari delle 

 equazioni del tipo iperbolico può dunque riunirsi nel teorema 

 seguente: 



Condizione necessaria e sufficiente, perchè un espressione w 

 della forma: 



iu = (w,«)+2.u).a. (<J. = Ju.A,(2)</x-f-e0,(K.)rfy) 



soddisfi, per ogni vcdore di z, integrale della (22). ad un'equazione 

 analoga è che u) si annulli per m -\- n -{- p soluzioni particolari, 

 linearmente indipendenti, della equazione in z. L'espressione di tu 

 contiene allora implicitamente p{m-j-n-\-p) costanti arbitrarie, 

 che danno luogo ad una serie di equazioni di uguale infinità, tutte 

 corrispondenti alle medesime soluzioni ^, dell'equazione data, u, del- 

 l'aggiunta. 



Questo teorema generale ha dei casi di eccezione: 

 Quando uno od ambedue i numeri m ed n siano uguali allo 

 zero, {pur essendo in quest'ultimo caso Zuj.u, 4= 0) la funzione io si 

 può dedurre da una certa trasformata di Laplace z'''^ della z o con 

 una trasformazione supcriore o con una della seconda classe. 



