SULLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 



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6. — In modo porfettamcnte analogo si fa lo studio delle 

 trasformazioni singolari delle equazioni del tipo parabolico. 

 Scritta l'equazione in z sotto la forma normale: 



(29) r-\-2ap-\-2bq^cz=0, 

 l'espressione di uj avrà la forma: 



(30) \x3 = az-\- a;^oi + «.«os + -. + «-.■^'on + Pi*io + Pj-^u + - 



... + P„,^i,„,_i 4- ujipi -|- iujP» + ... + ujpPp, 



dove n < m, e : 



31) Pi = Ji uAtiz) — z<i>t{u, ) j d.v — ] M, A i(i) — 0*i(«O ( dy = 

 = I 2bii,zdx — I «,p — z-^] di/ 



è il simbolo della trasformazione integrale singolare del 1° or- 

 dine della equazione (29) "'. Quando poi nella parte esplicita 

 di u) manchino le derivate della z, essa avrà la forma: 



(30*) 



lu = lUiPi -j- ujjp, + ... + u),Pp (con 2 uu,«, =}»0). 



Nel primo caso, in cui uu ha la forma (30), si dimostra col 

 solito processo '*' che essa deve annullarsi per 2m -{-p — 1 so- 

 luzioni particolari dell'equazione in z ed essere determinata da 

 questa condizione. Ne segue che deve essere n = m — 1 ; ed lu si 

 potrà scrivere sotto forma di determinante: 



(32)uj = 



Z Zoi Zoi ... Zom-l Zia Za ^18 ••• ■2'lm-l Pi P2 ." Pp 



Zi {zi\i (2;i)o!...(^i)cm-i {zi)w {zi)n (^^i)i8...(^i)im_i pì pà ... Pp 



Zi (•2'i)oi {z)oi.-{zÒ0m-l {ZlU {Zl)ii (2,)l8 -{Zòlm-Ì. pl pL-Pp , 



(•) Cfr. T. cap. lU, n. 27. 

 (') Cfr. T. cap. II, n. 15. 



