SOS ONORATO NICCOLETTI 



(40) 2. U). M. = 0. 



Più generalmente noi sniiiximuio die insieme colla (40) siano 

 soddisfatte altre relazioni della forma: 



(41) ^w,(u,\. = 0; («.)„= *'^'"' 



dx'dt/' 



È chiaro innanzi tutto, tenendo conto della equazione a 

 cui tutte le u, soddisfano, che, ove le relazioni (41) siano sod- 

 disfatte per tutte le derivate delle u, fino ad un certo ordine e 

 per due (non del tutto arbitrarie; dell' ordine immediatamente 

 superiore, lo saranno soddisfatte da tutte quelle di questo or- 

 dine; ciò viene evidentemente a ridurre di molto il numero di 

 quelle tra le (41) effettivamente distinte. 



Supponiamo allora che tra le (41) figurino intanto tutte le 

 derivate delle m, fino all'ordine massimo k (quando ciò non ac- 

 cada basterà fare k = 0) ; derivando la uj fino a questo ordine k, 

 si avrà: 



(42) u,„ = Ì(uj,).,A,; 0<i-fZ<^-<" 



(e le relazioni ottenute saranno in numero di 2A; + 1 itidipen- 

 denti '"); considerando invece le derivate della uj di ordine A- -f- 1, 

 per l'ipotesi fatta, alcune di queste conterranno certamente la z, 

 e quindi quelle di ordino k -\-2 \e derivate prime p e 7. Se il 

 sistema di relazioni così ottenuto permette di esprimere p e q in 

 funzione di z, degli integnili .4, e delle derivate di w, esso è com- 

 pleto ; dovrà dunque la uj annullarsi per j) — 2k — 2 soluzioni 

 dell'equazione data. 



(') Le relazioni 



Iuj,(mìV. = 0, ■< r + .<<<■ k 



danno infatti le altre : 



Z (iu.),„ (M,)r, = 0, < « + M -1- r-l- « < A-. 

 (^) Infatti a causa della (4), a cui per ipotesi la lu soddisfa, le (42) si 

 riducono al più a 2^+1 indipendenti: non possono poi ridursi a meno, 

 altrimenti la tu soddisferebbe per ogni valore di z ancora ad un'altra equa- 

 zione lineare alle derivate parziali, distinta dalla l4) e da quelle che si 

 hanno derivando; il che è assurdo. 



