SULLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI LINEARI, KCC. 

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Ne segue intanto k 



■ ; ed inoltre la condizione supe- 



riore insieme con quelle relazioni tra le (41), che contengono le 

 derivate delle «, fino all'ordine A:, (in numero di 2k -\- l indipen- 

 denti '") dà nei coefficienti w, p — 1 relazioni lineari omogenee ; 

 le quali, nel caso generale che le soluzioni z, della equazione 

 data e le u, dell'aggiunta non sieno legate, come supponiamo, da 

 alcuna relazione, sono necessarie e sufficienti a dare i rapporti 

 delle uu, ... iWp e quindi a determinare vj a meno di un fattore di 

 proporzionalità. Ne segue dunque, poiché uj è certamente diverso 

 da zero, che le 2k-\~ 1 relazioni tra le (41), che contengono tutte 

 le derivate delle «<, fino all' ordine k, devono esaurire le (41) 

 stesse: ed allora uu può scriversi (posto l^=2p — k — 2): 



(43) 



UJ = 



Inversamente è facile dimostrare che le condizioni supe- 

 riori, oltreché necessarie, sono anche sufficienti. Basta per questo 

 lievemente modificare il metodo di dimostrazione fin qui tenuto. 

 Indichiamo con Zi^i un'altra soluzione dell'equazione in z e scri- 

 viamo il sistema di equazioni lineari nelle funzioni t e v: 



(44) 



Ai = 2r, («,)r> tr, + 2« A/' Vfi ; ì Z= 1,2 ... p . 



(dove le t„ sono in numero di 2k-{-l, quante le (»,)„ indipen- 

 denti); queste ci definiscono in particolare v,^., proporzionale 

 ad UJ. Derivando le (44), otteniamo le relazioni: 



(45) 



t2,uA/^1^«=0, 



1 ox 



•.(«.)v+.<r,+ k{u,)„ ^ + (%l^v,,- ^)+':?La/'^^=o. 



óy V i oy ^ di' / r òtj 



i=^l,2...p 



'£, 



(') Ove le (41) si riducessero a meno di 2k+l indipendenti, le m, sa- 

 rebbero legate da una o più relazioni lineari a coefficienti costanti (Cf. T., 

 cap. IV, n. 4-5, nota e Dabboux, Lerons, voi. '2°, pag. 185 nota). 



