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Onliiianilo queste '2p relazioni secondo le successive deri- 

 vate delle II, e quindi secondo le A/' , esse vengono a contenere 

 linearmente ed omogeneamente 2p-\-2 funzioni, tra le quali figu- 

 rano le derivate prime delle l + 1 funzioni r,. Prendendo dunque 

 opportunamente la 0,4.1, potremo esprimere le derivate delle prime 

 / funzioni r, linearmente ed omogeneamente per quelle di r,. , ; 

 il che al solito dimostra che la vi+i (e quindi la tu) soddisfa ad 

 un'equazione lineare del 2" ordine, della quale si vengono anchi' 

 a conoscere l soluzioni particolari delTequazione aggiunta. 



L'ultima parte del ragionamento superiore cade in difetto, 

 quando sia l = 0. In questo caso (che può darsi soltanto por 

 p = 2Jc -\-2) basta modificare leggermente il processo di dimo- 

 strazione. Sarà allora infatti possibile esprimere le due funzioni 



'ci, 'w per ■r-', ..— ; d'altra parte dalle formule che danno le t 



con indici inferiori è facile formare un aggregato lineare omo- 

 geneo delle derivate prime di <n, t^t, ancora esso esprimibile 



linearmente ed omogeneamente per y-*, -r-i; e ciò fa vedere che 



fi (e quindi ai) soddisfa ancora ad un'equazione del 2° ordine. 

 Il nostro asserto è cosi completamente dimostrato ". 

 Possiamo dunque enunciare il teorema: 



Condizione necessaria e sufficiente perchè un'espressione: 



uj = 2, iw. A, 



1 



colle condizioni ulteriori: 



2uj,(^«,j„ = (): </• + «< A- 



soddisfi per ogni valore di z integrale dell'equazione data, ad un'e- 

 quazione lineare del secondo ordine, è [in generale) che fssa si 

 annulli per p — 2k — 2 soluzioni particolari dell'equazione in z. 

 Una tale funzione contiene allora implicitamente p{p — 2k — 2) 

 costanti arbitrarie. 



(') Per intendere bene il ragionamento superiore è utile seguirlo su 

 un determinato caso particolare ed osservare quindi che il ragionamento 

 è affatto generale. 



