SULLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 811 



Va considerato in modo speciale il caso che k raggiunga 



il suo valore massimo; che sia cioè A" = 7^-, oppure A:= ^~ . 



secondochè p è pari dispari. Nel primo caso non vi è alcuna 

 soluzione dell' equazione in z che annulli la uu ; nel secondo 

 una sola. Ma si osservi allora che, derivando la uj fino all'ordine 

 A;-|- 1 (0 A- -f- 2) ed eliminando gli integrali A,, noi troviamo nel 

 primo caso una relazione lineare omogenea tra la z e le derivate 

 della funzione ai; nel secondo perverremo invece a due relazioni 

 della forma: 



z^^ -\-a.z-\- p{w) = ; z,.i + az -I- p'{\i}) = ; 



(essendo p{\u),p'{M) funzioni lineari omogenee in lu e nelle sue 

 derivate): le quali, dovendo ^■lo + à.z,z,,i -\- a'z annullarsi, come uj, 

 per ^ = ^1 , possono anche scriversi : 



(Ì)+PM = 0; ±(j-^) + p'i^) = 0. 



Ne segue che nel primo caso la z si deduce dalla u) con una 

 trasformazione differenziale dell'ordine k-\-l (che evidentemente 

 corrisponde alle soluzioni iUi,ujj... w^ ed è quindi generale); nel 



secondo che la — si deduce dalla ut con una trasformazione in- 



tegrale, pure generale, dell' ordine k-\-2. Ritroviamo così dei 

 risultati noti della teoria delle trasformazioni differenziali ed 

 integrali ' '. 



■^6' 



8. Tutto il ragionamento precedente è fondato sull'ipotesi 

 che le relazioni che si ottenevano derivando la uj fino all'or- 

 dine k -r- 2, fossero risolubili rispetto alle derivate prime di z. 

 Consideriamo ora il caso in cui questo non accada. Un ragio- 

 namento simile a quello del n" 4 dimostra esser questo impos- 

 sibile nel caso ellittico; può invece aver luogo per le equazioni 

 dei due tipi iperbolico e parabolico. 



Cominciando a discutere il caso iperbolico, supporremo che 

 l'equazione in z abbia la forma normale (19), e scriveremo lu 

 sotto la forma: 



(') Cfr. T. cap. IV, n. 46 e 50. 



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