812 ONORATO NICCOLETTI 



(46) tu = S. Ui. O,. 



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Supporremo inoltre che tra le funzioni w, e le k, si abbiano 

 lo relazioni: 



(47) 2u),(«,)r« = 0; ^u}A".Ìb. = 0. 



Allora, se tra queste relazioni compariscono tutte quelle 

 colle derivate rispetto ad x fino all'ordine in, quelle rispetto ad 

 1/ fino all'ordine n, avremo evidentemente, derivando la (46): 



(48) u)rt = I(iw,)roCf,; uj„, — Z(uj.)„,cr,; (>-^l,2...m-|-l ; s=1,2...m); 



la uJo,„+i contiene invece esplicitamente la z, le uj„^jf. tuo..^.. la 

 p e \si q e sono risolubili rispetto a questo derivate. Il sistema 

 ottenuto è completo e perciò dovrà la uj annullarsi per 

 l=p — m — n — 2 soluzioni particolari della (l!l); sarà cioè 

 m -\- n ^ p ^ 2 ed w si scriverà sotto forma di determinante: 



I (J, ai o; ... a'i m, («,),„ («,)», ... {uXo (mi)oi («i)ot - («i)o- | 



(Ti ai a] ... a', mj (mi),„ («,)«, ... (u.)„„ («,)oi (wt)oi ... (»<i)o. 



(49) u) = 



(T, al al ... aj, «^ (m^),c (u^U ... (";,)«o («p)..i ("?)«* - ("?)»» '• 



Ne segue che, .se le m, , come supponiamo, non sono legate 

 da alcuna relazione, non vi possono essere tra le (47) altre re- 

 lazioni che quelle che contengono tutte le derivate rispetto ad x 

 fino all'ordine m, quelle rispetto ad ij fino all'ordine w. 



Inversamente queste condizioni sono anche sufficienti: indi- 

 cando infatti con ^i^, un'altra soluzione della (19), consideriamo 

 il sistema di equazioni lineari nelle funzioni te v: 



m n I-^l 



(50) a,= u,tao -r I»(i<.)w<w + "ZkittXhU + lu o/' «>/ ; « = 1 ,2 ... p 

 1 1 r 



da queste, ragionando precisamente come nel caso superiore 



