SULLA TKASFORMAZIOXE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 813 



deduciamo ancora ohe l'i^., (e quindi anche ui che gli è propor- 

 zionale) soddisfa ad un'equazione del tipo iperbolico, per la quale 

 si conoscono anche ? =^ — m — n — 2 soluzioni particolari del- 

 l'equazione aggiunta. 



Anche in questo caso i valori 1^0, 1 = 1 conducono, come 

 nel caso superiore a trasformazioni inverse di trasformazioni 

 differenziali ed integrali. Si noti infine che anche qui la fun- 

 zione uj è determinata a meno di p {p — ni — n — 2) costanti 

 arbitrarie ; vale quindi un teorema perfettamente simile a quello 

 del n° ant. 



9. Una discussione perfettamente analoga vale nel caso 

 parabolico. 



Supporremo scritta Tequazione sotto la forma ridotta (29); 

 tì daremo ad lu la forma: 



p 

 (51) uu = I, w. p, ; 



inoltre tra le funzioni w, e le m, si avranno delle relazioni della 

 forma : 



(52) Iw.(h.)o<. = 0; Iiu.((Ou = 0. 



Su queste relazioni conviene innanzi tutto fare un'osserva- 

 zione. Se tra esse vi sono ad es. tutte quelle per le quali h va 

 da fino ad m. k da fino ad w, è chiaro intanto che per ogni 

 valore comune di h e h saranno soddisfatte le relazioni analoghe 

 relative alle derivate delle u, del medesimo ordine, non solo, 

 ma anche per quelle dell'ordine immediatamente superiore, che 

 contengano almeno due volte la derivazione rispetto alla varia- 

 bile .r. Di più, come risulterà dal ragionamento posteriore, 

 possiamo supporre senz'altro che nelle (52) h prenda tutti e soli 

 i valori da ad m, h tutti e soli quelli da ad n. 



Posto questo, deriviamo la (51), tenendo conto delle (52) e 

 di quelle che ne seguono. È facile vedere che si avrà: 



uj„, = I (uj,)„, p, , 



