SULLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 815 



Inversamente queste condizioni sono anche sufficienti. Quando 

 infatti esse siano soddisfatte, indicando con ^;a., un'altra solu- 

 zione della (29), il solito sistema di equazioni nelle funzioni lev: 



m l+l 



(55) P. = 2:, j (K,)or<Or + («.)lr<lr ( f I* P.' l\ Ì = 1,2 ... p 



l 



(donde i';+i è definito proporzionale ad uj), opportunamente de- 

 rivato, dà luogo a 2p -{-2 relazioni lineari omogenee in 2p + 4 

 funzioni incognite, tra le quali le derivate delle ^ + 1 funzioni 

 r, . Ne deduciamo (anche per / =: 0) che la yj+i (e quindi uu) sod- 

 disfa ad un'equazione del tipo parabolico e della forma normale, 

 della quale si conoscono di più l soluzioni particolari della equa- 

 zione aggiunta. 



b) Quando poi si abbia »ì = h-|-1, cioè nelle (52) sia: 

 /i = 0,1,2 ... ffj; k = 0,l,2 ...m — 1, si avrà allora anche: 



(56) uJoA = I,(uj,)oaPì ; ui^ = I,(uj,)uP,; h,k = 0,1 ... m 



ed un ragionamento affatto analogo al precedente dimostra che 



uj deve annullarsi per i = p — 2 /» — 2 soluzioni particolari della 



„ -7 



(29): sarà quindi >« < ^ " »e la uj si scriverà: 



' Pi pi PI - PÌ Ih (!<l)oi (Uih ... («l)om (i«l)lO (Wl)ll - ("l)l,m-l 



Pi P' Pl ■•• P2 ìl> ("j)oi («■>),)•> ... («iU ("2)10 Uhìn ... («2)l,m_l 

 (57) UJ ^ 



Pp Pp Pp - Pp Wp (Mp)oi («p)o8 - (Mp)om (Mp)io (Up)ii ... (Mp)i,„_i 



Inversamente queste condizioni sono anche sufficienti, come 

 risulta al solito dal sistema di equazioni lineari: 



m m-1 l-fl 



(58) p, — I.Au,)ortor + '^,{u,)uti.-\-^kPÌi\; i=l,2...p 



1 



e da quelle che se ne ottengono, derivandole rispetto ad .r e ad (/. 

 In ogni caso l'espressione di uj contiene implicitamente pi 

 costanti arbitrarie (quelle additive nelle p'). 



