860 VITO VOLTERRA 



Abbiasi 



e si prenda nel piano xy la curva algebrica avente per equazione 



(1) j-Vl — y' + yVl — j-'=cost. 



Se i liiinti superiori dei precedenti integrali sono le coordinate di 

 un punto della curva, J non cambierà spostando il punto stesso 

 sulla curva. 



Possiamo anche dire in maniera equivalente che l'equazione 

 differenziale 



dx _|_ dy _^ 



ammette un integrale algebrico e precisamente l'integrale (1). 



È superfluo, perchè ormai troppo noto, l'accennare che la 

 estensione di questo teorema ha dato luogo alle prime scoperte 

 nel campo delle funzioni ellittiche. Il teorema di Eulero che dà 

 il principio di addizione delle funzioni ellittiche consiste nella 

 equivalenza fra la relazione 



[' dx , f» dy _ ^ ^^g^ 



J Va-a^'Xl-JfcM J V(l-y*)(i-^V) 



ed una relazione algebrica fra i limiti superiori .r, y dei due 

 integrali. 



Analogamente il principio della trasformazione delle fun- 

 zioni ellittiche consiste nel collegare un integrale 



h 



dx 



/Aj:* + Rr' + Cx* + Da: + E 



con un altro della stessa natura 



f» dy 



Vav + By - cy + dv + £■ 



