862 VITO VOLTERRA 



in cui bi, bf, bì\ pi, Pj, P, ; X, y, v sono qunntitìt costanti e 



X -L n 4- V = 0. 



Prendasi la superfìcie algebrica 

 (3) Xx ^fTZfi+i, + My j/|7T|7+P. + 



+ v^)/t'y'-^x' + p.-c. 



Se » ire precedenti integrali sono estesi a parti dei piani coordi- 

 nati limitate dalle proiezioni di una curva qualunque tracciata 

 sopra questa superficie; J non cambierà spostando e deformando 

 la linea stessa sulla superfìcie. 



4. Per dimostrare il teorema consideriamo in generale la 

 somma dei tre integrali 



J' = jj ^ 9i iij 1 -2) dij '^^ + J J ^^2 (z , r) dz dx + ^^ ^cp^ {-r , y) dx dy 

 insieme coU'equazione differenziale a derivate parziali 



Se f ne è un integrale ; a una porzione delle superficie 

 f=z cost 



e tti, a., 03 sono le proiezioni di a sui piani coordinati. a\Temo 



J — <Pi ,, , + <Ps -j-, i + <Pj T^( \ "" "^i 



JJoL <UM,t) ^ d(«,F) ^ (f(u,»)J 



in cui l'integrale è esteso alla porzione a della superficie, e 

 u, V ne rappresentano un sistema di coordinate curvilinee. 

 Ma se n è la normale alla superficie, si avrà 



d(v,2) d{z,x) d(x,!/) òf df df 



j, \ : ,. ; : :rH^ = cos nx : cos ny : cos "^ = "- : t" : ^ . 

 rf(i*,p) d{u,i) d{u,v) •' di òy òi 



