SULLA TKASFOKM AZIONE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 



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diremo pori quelle trasformazioni, per cui p = ù (mod. 2), dispari 

 quelle per cui /) = 1. E facile allora dimostrare il teorema: 



Ogni trasformazione pari si ottiene componendo (nel senso 

 generale della teoria delle operazioni) una trasformazione diffe- 

 renziale coli' inversa di una tale trasformazione : ogni trasforma- 

 zione dispari componendo una trasformazione integrale ancora col- 

 l'inversa di una differenziale. 



Cominciando infatti dal caso di j) = 2q, consideriamo le re- 

 lazioni che si ottengono derivando la lu fino all'ordine q: 



p 

 (59) uJnv=(Ia,iS,i)nv+2:,(WiA,)uv: (U<^-|-v<5; 0<! + fc<»0. 



Da queste relazioni che, in forza dell'equazione a cui sod- 

 disfa la w, si riducono a 2g' -|-1 indipendenti, potremo eliminare 

 gli integrali A, ; ed il risultato della eliminazione si potrà scri- 

 vere sotto la forma (o sotto un'altra equivalente): 



(60) 



UU lUi ... Ul^. 

 UJio (lUi)lO ... (u^p)lO 



Woi (tU,)oi ... (Wp)o. 



TaaZii 



lU, U)2 ... UJ 



l"50 (>A'.),0 .- (W'p),0 



(Zart2:,k)io + I, UU,(A.Ì,., (u)i)in(uJj)io...(ujp)K, 

 1 



p 



(I a,n %)oi + i, i-u,(A,) , (uj,)(,i (1^2)01.. .(ujp)o, 



(Ia,i2-a),o+ (w,),n(uJ2),o...(lUp),o 



tuo, (tuOo, ... (Ulp)o, I !(1 0,1^,1)0,+ (uj,)o,(»Wo)„,,...(u)p)o, 



ed avendo scritto uj sotto la forma normale, sarà la (60) la 

 relazione esplicita (priva cioè di segni integrali) tra la tu e 

 la z, che contiene di queste due funzioni le derivate di ordine 

 minimo. 



Ricordando allora che le uj, sono delle soluzioni particolari 

 dell'equazione in tu, ed indicando con 9 il valore comune dei due 

 membri dell'uguaglianza precedente, è chiaro che 9 è una fun- 

 zione lineare omogenea di lu e delle sue derivate fino all'ordine 

 ^ e si annulla per le 2<;r soluzioni indipendenti uu = io, dell'e- 



