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quazione in lu: ossa quindi soddisfa por ogni valore di io (e 

 perciò anclie di 2) ad un'equazione lineare omogenea del secondo 

 ordine, che si ottiene da quella in uj mediante la trasformazione 



differenziale generale di ordine 9 = 0"' corrispondente alle so- 

 luzioni particolari uj,, tu, ... lu^'". D'altra parte, siccome 9 è anche 

 una funzione lineare omogenea di ^ e delle sue derivate fino all'or- 

 dine m -|- 5 '" e per ogni valore di z soddisfa, per quel che pre- 

 cede, ad un'equazione del secondo ordine, è anche chiaro che 9 

 si ottiene dalla ^ con ima trasformazione differenziale (generale 

 no' di ordine uguale od inferiore ad m -}-q. Ne segue allora 

 che la UJ può ottenersi dalla z, componendo (nel senso generale 

 della teoria delle operazioni) la trasformazione differenziale che 

 porta dalla z alla 9 con quella che fa jiassare dalla 6 alla w, 

 cioè coU'inversa di una trasformazione differenziale generale di 

 ordine q. 



Reciprocamente, componendo una trasformazione differen- 

 ziale qualunque di ordino //* + q coU'inversa di una trasforma- 

 zione differenziale generale di ordine q, noi otteniamo in gene- 

 rale una trasformazione [»i, 2q]. Noi daremo la dimostrazicjne 

 nel caso generale: ma un calcolo del tutto analogo vale per le 

 trasformazioni singolari (aggiungendovi per le equazioni del tipo 

 iperbolico delle trasformazioni di Laplace). 



Osserviamo perciò innanzi tutto che dal teorema di per- 

 mutabilità di due trasformazioni differenziali'-' segue, perla teoria 

 generale delle operazioni, che una trasformazione differenziale 

 ed una inversa di una tale trasformazione sono anche osse per- 

 mutabili: potremo dunque, per aver delle formule le piìi semplici 

 possibili, eseguire prima la trasformazione inversa della diffe- 

 renziale, quindi la differenziale. 



Indicando allora con 1/,, «2 ... i/,, 2q soluzioni particolari (li- 



(') Cfr. T. Cap. II, n. 21. 



(') Pub l'ordine delle derivate di z nel determinante che forma il se- 

 condo membro della (60) esaere inferiore ad m-\-g, quando ."ia m«=0 e 

 siano soddisfatte alcune delle relazioni che conducono alle trasformazioni 

 singolari della seconda clivsse l§ IV) : e ciò è evidentemente d'accordo coi 

 risultati già ottenuti. 



(') Cfr. T. Cap. II. n. 23. 



