SULLA TKASFOK.MAZIONE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 'J73 



nearmente indipendenti) della 0(1/^ ^=(1, e dotenninate le fun- 

 zioni l, [0 meglio i loro rapporti) dalle relazioni : 



(61) I.Z,{».)r. = 0, 0<r + s<<?-l, 

 la funzione: 



(62) r= 1,2. A,= I,:,| j uA{z)-z<P,{u,)i dx-) «,A, (^)-^0,(H,)!rfy 



si ottiene dalla z colla trasformazione inversa di una differen- 

 ziale dell' ordine q, corrispondente alle soluzioni particolari 

 Mi , Mo ... Mj, '". E ponendo nella l per la funzione z rispettiva- 

 mente le soluzioni z,, ^a — ^jm;-!, dell'equazione (1*), linearmente 

 indipendenti, saranno: 



(63) r'*'=I.riA.*^Zr.|)».A2(.-t)-^i.<|),(«.);rfa;-)«.A,(^*.)-^*<t>,(«.)irfy 



k = l,2...2m-\-2q 



altrettante soluzioni particolari, anche esse linearmente indipen- 

 denti, dell'equazione in l. 



Formando quindi della l la trasformata differenziale del- 

 l'ordine ni -\- q corrispondente alle soluzioni il'*' superiori, cioè 

 con notazioni già usate '"•, la funzione : 



(64) uj = [Z, Z"', r" ... Z'""-'' J, "' 



si trova, tenendo conto delle (61), che questa funzione w è data 

 da un determinante di ordine 2m-\- 2<jr + 1, che, dopo facili ri- 

 duzioni, coincide con quello della formula (11). 



Questo dimostra la prima parte del nostro teorema e fa 



(') Cfr. T. Cap. IV, n. 46. 

 (') Cfr. T. Cap. II, n. 18. 

 C) L'equazione in lu ha inoltre le soluzioni particolari : 



(64* t tu, = [Zj,Z'i»,r(!I...Z(2'»+2?il , {i = l,2...2q) 



corrispondenti alle Z, della equazione in l. 



