97tj OSOKATO NICCOLETTI 



Si noti infatti che ponendo : 



(68) M. = J i n F,(J.) - 1. Q.(n) Irfx - ) n P, (Z.) - 1, Q. (n) I dy, 



si potrà con integrazioni per parti (tenendo presenti le (61)) 

 dare all'integrale A la forma: 



(67**) A = I.|M.A. — JiM.(/A,|, 



»? 



I. 



I 



Ora lo funzioni M, sono appunto quelle che abbiamo chiamato 

 »i(i = l, 2...2q) nella teoria delle trasformazioni differenziali 

 ed integrali e che si otterrebbero col metodo di Liouville '" nel 

 passare dalla m alla t], aumentate (questo funzioni r.) di una 

 parte proporzionale ad r|: sono quindi funzioni lineari omogenee 

 della u e delle sue derivate fino all'ordine q. E chiaro allora 

 che l'espressione di w contiene linearmente ed omogeneamente i 

 2q-\-l integrali A,, corrispondenti alle soluzioni M). ««...«,,, 10,4.1 

 dell'equazione aggiunta a quella in z: contiene poi una parte 

 esplicita nella z e nelle sue derivate, il cui online non può però 

 superare m. Si noti infatti che dalle (61) seguono anche le re- 

 lazioni : 



(69) Iì:.(A,)-,=0; 1<>--|-s-=5-1 ZZ;(A,);,„=p;,„2: {\ + ii=q) 



ed analoghe: e questo appunto dimostra che nel determinante 

 (66) che dà lu, figurano le derivate della ^ fino all'ordine m e 

 non piìi. È poi evidente che la uj si annulla per le soluzioni 



Il nostro teorema è così completamente dimostrato. 



12. Se ne deducono delle conseguenze che interessa notare. 



Innanzi tutto, poiché le trasformazioni differenziali ed in- 

 tegrali (e le loro inverse) portano sempre ad equazioni della 

 medesima classe dell'equazione data, e pili precisamente coi 

 medesimi coefficienti delle derivate seconde, altrettanto accade, 

 per quello che precede, per ogni trasformazione integro-diffe- 



(') Cfr. T. Cap. II, n. 18 e IV, n. 46. 



