SULLA TRASrOlO.AZIOXE DKLLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 977 



renziale: abbiamo cioè il risultato (elio del resto accennammo 

 potersi ottenere anche per altra via): 



L'equazione a cui una qualunque trasformata \m, p\ soddisfa, 

 è della stessa classe di quella in z e si riduce alla forma nor- 

 male collo stesso cambiamento di variabili. 



È chiaro inoltre che, ottenendo una qualunque trasformata 

 \m, p\ non per via diretta, come già abbiamo fatto, ma per 

 mezzo del teorema superiore, noi avremo le stesse soluzioni 

 dell'equazione in ai e dell'aggiunta, che la costruzione diretta 

 delle trasformazioni [/«, />] fa conoscere. Basta perciò ricordare 

 che una trasformazione differenziale dell'ordine m fa conoscere 

 (col metodo di Liouville) tante soluzioni particolari dell'equa- 

 zione aggiunta della trasformata, quante sono le soluzioni par- 

 ticolari dell'equazione primitiva che individuano la trasforma- 

 zione: una trasformazione integrale, oltre queste soluzioni della 

 aggiunta, ne dà anche una della equazione trasformata; l'in- 

 versa di una trasformazione differenziale dà tante soluzioni parti- 

 colari dell'equazione trasformata, quante dell'equazione aggiunta 

 della primitiva l'individuavano '"'. Combinando questo risultato 

 col teorema superiore, ne segue la verità di quanto avevamo 

 affermato. 



Ma la concordanza dei risultati ottenuti coi due metodi si 

 può spingere ancora più oltre ; i due metodi si equivalgono per- 

 fettamente anche per quello che riguarda il numero delle costanti 

 arbitrarie, da cui la trasformazione dipende. Considerando ad 

 es. il caso delle trasformazioni pari, basta osservare che il 

 passaggio dalla funzione z alla sua trasformata differenziale 

 non introduce, è vero, alcuna costante arbitraria: ma le solu- 

 zioni particolari a'", *'"... s*?' dell' equazione aggiunta a quella 

 in e, corrispondenti alle «i, «j.-.m^ della <t>{u)=0, sono deter- 

 minate solo a meno di parti additive della forma: 



«.r'l-f6.2S2-f-.- -f-€.,!+m-rS?-^2".+!l> («=1, 2 ... p) 



dove le e,» sono costanti arbitrarie, le .9-, sono le soluzioni par- 

 ticolari dell'equazione aggiunta a quella in 6, che il metodo di 



C) Cfr. T. Cap. Il, III, IV (passim). 



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