978 ONORATO NICCOI.ETTI 



dimostrazione del Liouville fa conoscere. Un risultato affatto iden- 

 tico si ottiene, quando sulla z si eseguisca prima l'inversa della 

 trasformazione differenziale di ordine q corrispondente alle so- 

 luzioni Ui, Uj ... Up e su questa poi la tra.sforniazione differen- 

 ziale di ordine m-{-q corrispondente alle soluzioni T", C'"...!'"'*''", 

 date dalle (H.i). Queste soluzioni contengono infatti implicita- 

 mente (cia.scuna di esse) p costanti arbitrarie, le costanti addi- 

 tive degli integrali Af. 



Un ragionamento perfettamente simile vale per le tras- 

 formazioni dispari : se ne deducono quindi delle conclusioni 

 analoghe. 



§ VI. 

 Le trasformazioni aggiunte. Le trasformazioni inverse. 



13. Il teorema generale, dimo.strato nel § precedente, dà 

 facilmente la relazione che lega due equazioni aggiunte di due 

 altre A(z) =^ 0, P(uj) = 0, l'ultima delle quali si ottenga dalla 

 prima con una determinata trasformazione [m, p]. 



Ricordiamo perciò un risultato della teoria delle trasfor- 

 mazioni differenziali ed integrali e delle loro inverse. Abbiamo 

 ivi dimostrato '" che, se da un'equazione A(e) = con una tras- 

 formazione differenziale (od integrale) corrispondente aile solu- 

 zioni Zi, Zt ... dell'equazione data (ed ii dell'aggiunta) si otteneva 

 una nuova equazione P(9)^0 (o F(q)) = U); l'aggiunta di questa 

 si deduceva dalla <t>{u) ^ con una trasformazione inversa di 

 una differenziale (od integrale), corrispondente ancora alle me- 

 desime soluzioni Zi, Zi ... (m). che individuavano la trasformazione 

 diretta: le due trasformazioni erano poi insieme generali o sin- 

 golari. Per la relazione reciproca che v'è tra un'equazione e la 

 sua aggiunta, ne segue una conclusione affatto identica riguardo 

 alle trasformazioni inverse delle trasformazioni differenziali od 

 integrali: le equazioni aggiunte di due tali trasformate sono le- 

 gate da una trasformazione differenziale od integrale corrispon- 

 dente alle stesse soluzioni dell'equazione data e dell'aggiunta, 

 che individuano la trasformazione primitiva. 



(') Cfr. T. Gap. IV, n' 48 e 52. 



