SULLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI LIVEAKI, ECC. 979 



Sia ora lu una funzione, ottenuta dalla z mediante una tras- 

 formazione \m, p\ (generale o no), corrispondente alle soluzioni 

 Zi, Zt ... dell'equazione data, «,, Mj ... dell'aggiunta. Secondo il 

 teorema del n" 11, potremo ottenere dalla z la uj, costruendo 

 prima (secondochè p è pari o dispari) una trasformata differen- 

 ziale 9 (od integrale qp) della z, corrispondente alle soluzioni z 

 (ed ad una delle m^) ; passando quindi da 9 (o dalla cp) alla vj 

 con una trasformazione inversa di una differenziale corrispon- 

 dente alle (rimanenti) soluzioni «i dell'equazione aggiunta. In- 

 dicando allora con m, s-, (ip), le funzioni aggiunte della z, 9, 

 (q)), u), è cliiaro che dalla u otterremo la 0, componendo le due 

 trasformazioni che portano dalla ii alla &(ni) e da questa alla 0. 

 La funzione si ottiene dunque dalla u ancora mediante una 

 trasformazione integro-differenziale, la quale di più corrisponde 

 al medesimo complesso di soluzioni z^ od m, che individuano la 

 trasformazione che porta dalla z alla lu: solo per essa le so- 

 luzioni z, ed H, si scambiano il loro significato. E chiaro di più 

 che in queste due trasformazioni le costanti arbitrarie hanno i 

 medesimi valori'". Noi diremo a^(/j»«<e due tali trasformazioni ; 

 e potremo allora enunciare il teorema: 



Le equazioni aggiunte di due altre, legate da una trasfor- 

 mazione [m, p], sono legate dalla trasformazione aggiunta. In am- 

 bedue le trasformazioni le costanti, da cui esse dipendono, hanno 

 i medesimi valori. 



14. Con altrettanta facilità possiamo determinare quali siano 

 le trasformazioni inverse delle trasformazioni [m, p] e da quali 

 soluzioni particolari dell'equazione data e della aggiunta esse 

 siano individuate. 



Cominciando infatti dalle trasformazioni pari (p = 2^) e 

 trattando senz'altro il caso generale (poiché dei risultati per- 

 fettamente simili valgono per le trasformazioni singolari e si 

 ottengono con metodo analogo), sia uj una trasformata [ni, 2q] 

 della z, corrispondente alle soluzioni 2^1. Zt ... Zi„^2^ dell'equa- 

 zione data, «,, i<j ... Mj, dell'aggiunta. 



La funzione ai si ottiene allora col procedimento indicato 



(') Cfr. n. 12 e T. Cap. Ili, n. 34. 



