SULLA TKASFOKMAZION'E DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 983 



(88)»=|//,A,=|u..f)nP^(g-2.Q.(n)(rf.r-lnP,(2.)-2;Q.(n)i<^y; 



ed 



il 

 (89) M,^i = 2iM,A;,+,. 



Ne segue che anche in questo caso l'equazione in z si ot- 

 tiene da quella in lu mediante una trasformazione integro- 

 differenziale dispari, la quale corrisponde ancora al complesso 

 di soluzioni particolari dell'equazione data e dell'aggiunta, otte- 

 nute col metodo di Liouville : ed ancora le due equazioni ag- 

 giunte sono legate dalla trasformazione aggiunta. 



Dei risultati affatto simili valgono per le trasformazioni 

 singolari. Abbiamo dunque il teorema : 



La trasformazione inversa di una trasformazione integro- 

 differenziale è ancora una trasformazione della stessa natura, la 

 quale corrisponde precisamente a quelle soluzioni particolari del- 

 l'equazione trasformata (e dell'aggiunta), ottenute col metodo di 

 Liouville. 



16. Trova qui luogo un'osservazione interessante. Dicemmo 

 già che una trasformazione ['m,/»] conteneva in se implicita- 

 mente delle costanti arbitrarie, quelle additive negli integrali AJ: 

 e facendo variare queste costanti, variava la trasformazione in 

 una serie di infinità uguale al numero delle costanti ai'bitrarie. 

 Consideriamo allora, ad es., una trasformazione generale pari e 

 diamo agli integrali k\ degli incrementi costanti arbitrari €,4.; 

 in luogo delle relazioni del n. 14, avremo allora le altre : 



(63') r<« = 2. 2:. 5 A* + £^. ( = 2:'*J + I €., :. ; 



1 l 



(64') uj' 3 [z.rc'.z"". ..!:''"•+«"]; 



(64'*) < = [l, , r"', Z'i" . . . r'-™+''*] ; i = \,2...iq 



(70') 2,)2:""Jr.O', = 0; < r -f s < m + ^ - 1 



1 



