SDLLA TKASFOKMAZIOXE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 985 



della equazione in uj'; sostituendo infatti nella (74') al posto 

 di UJ le funzioni superiori ed indicando esplicitamente con n.k 1© 

 costanti additive negli integrali B'L , avremo : 



(92) 2,,.€.,!:'*"B';=2eaZ.+2e.,rl.,£"^ i=l,2...2q; r^l,2...2m+2q. 



Se quindi si determinano le costanti tiir in guisa che si abbia: 

 (93) 2£,tr|,A = — 1 : 2e,tn.r = '> k^r 



(il che per ogni valore fìsso di A; è possibile, in infiniti modi), 

 si avrà appunto che alle funzioni w'k corrisponde la soluzione C<*' 

 dell'equazione in l. 



Ora le soluzioni Zi'k{k = l,2...2m -{-2q) sono soltanto in 

 numero di 2q linearmente indipendenti, come le w', , di cui sono 

 funzioni lineari omogenee con coefficienti costanti : quindi la 

 funzione uj, data dalla 64) si annulla in fondo soltanto per le 

 soluzioni uj', (» = 1, 2...2r/) dell'equazione in uj'. Ne segue il 

 risultato che, disponendo opportunamente delle costanti arbi- 

 trarie che nella trasformazione intervengono, possiamo passare 

 dalla uj' alla uj con una trasformazione integro-differenzialc ap- 

 partenente ancora alle soluzioni u)', , O't dell'equazione in uj' ed 

 in 0', a noi note col metodo di Liouville. 



Un ragionamento perfettamente simile vale per le trasfor- 

 mazioni dispari e le singolari : possiamo dunque enunciare il 

 teorema : 



Le infinite trasformate integro-differemìali della A(2) = 0, 

 corrispondenti al medesimo complesso di soluzioni particolari della 

 equazione data e dell'aggiunta, sono tra loro (e coli' equazione data) 

 in relazione involutoria ; da una qualunque di esse si possono ot- 

 tenere tutte le altre con una trasformazione integro-differemiale, 

 che corrisponde al complesso delle soluzioni particolari dell'equa- 

 zione stessa e dell'aggiunta, date dal metodo di Liouville, dispo- 

 nendo in modo oppoHuno delle costanti arbitrarie, da cui la tras- 

 formazione dipende. 



