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S VII. 



La composizione delle trasformazioni [ni,p]. 

 Il teorema di permutabilità. 



17. Le trasformazioni [>«,;>] sono evidentemente suscetti- 

 bili di composizione, nel senso generale della teoria delle ope- 

 razioni : delle leggi di questa composizione e della natura delle 

 trasformazioni composte vogliamo ora occuparci. 



Dobbiamo perciò ricordare alcune convenzioni e risultati 

 della teoria delle trasformazioni differenziali ed integrali. 



Dicemmo ivi innanzi tutto ''' che, quando dall'equazione 

 Aù)^0 mediante una trasformazione S (di qualunque natura) 

 noi otteniamo un'equazione P{uj):=0 in una funzione trasfor- 

 mata uj, e da questa mediante una trasformazione T un'altra 

 Q(\) = 0; dalla A{z) = si otteneva la Q(X) = colla tras- 

 formazione composta delle due S e T, e che indicammo col sim- 

 bolo ST. E se la trasformazione S dipendeva dalle soluzioni 

 Zi, z^...; u,,Ut... dell'equazione in ^ e della aggiunta, la T dalle 

 o), . uja. .. ; 0, , 0, ... della equazione in u) e dell'aggiunta (corri- 

 spondenti rispettivamente alle z,,Zk,... : u^, u, ...) indicammo 

 anche le due trasformazioni S e T coi simboli : 



^5«l «,...; il|U,... ) li( 



II...; UrU>. 



che mettono in evidenza le soluzioni particolari dell'equazione 

 data e dell'aggiunta, che individuano le trasformazioni S e T. 

 Dimostrammo poi i teoremi : 



a) Componendo due trasformazioni differenziali di ordine 

 qualunque, si ottiene ancora una trasformazione differenziale, il 

 cui ordine è mÌ7iore o uguale alla somma degli ordini delle com- 

 ponenti, la quale (ed è questa la proprietà più importante) i* in- 

 dividuata dal complesso delle soluzioni particolari dell' equa zioM 

 data che individuano ambedue le trasformazioni componenti. 



(') Cfr. T. Cap. II, n. 22. 



