SULLA TKASFORMAZIOXE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 989 



e poiché le derivate della qp si annullano per z=.z-_, quelle 

 della MJ per 2 = ^,, il secondo membro della relazione superiore 

 si annulla per le due soluzioni particolari Zi e ^^ della A(^)=:0, 

 che individuano le due trasformazioni componenti. Ne segue 

 dunque che la composizione dello duo trasformazioni integrali 

 date porta ad una trasformazione integro-differenziale pari, e 

 precisamente ad una |0,l2l, che si ottiene componendo la tras- 

 formazione differenziale del 1" ordine della A (?) = (), corrispon- 

 dente alle soluzioni z^ e ?.>, coll'inversa di una certa trasforma- 

 zione differenziale. 



È d'altra parte evidente che. componendo le due trasfor- 

 mazioni aggiunte delle date, la trasformazione composta è l'ag- 

 giunta di quella che si ha componendo le trasformazioni primitive. 

 Ma si rammenti che la trasformazione aggiunta di una trasfor- 

 mazione integrale generale del 1" ordine è ancora una trasforma- 

 zione integrale generale dello stesso ordine, corrispondente alla 

 medesima coppia di soluzioni dell'equazione data e dell'aggiunta, 

 alle quali appartiene la trasformazione diretta'" (solo è scam- 

 biato ruflicio di queste due soluzioni) : ne segue allora pel ri- 

 sultato che precede, che la trasformazione aggiunta di quella 

 che si ha componendo le due trasformazioni integrali date, si 

 può anche essa ottenere dalla composizione di una trasforma- 

 zione differenziale del 1" ordine della (|)(«) = corrispondente 

 alle soluzioni »i ed ?/; coll'inversa di una trasformazione diffe- 

 renziale {ancora della o «) = 0). 



Tenendo allora presente il risultato dimostrato al n. 13, ne 

 segue senz'altro che la trasformazione composta delle due tras- 

 formazioni integrali date, è una trasformazione [0 , 2] , che può 

 ottenersi altresì componendo la trasformazione differenziale del 

 1° ordine della N{z) = () corrispondente alle soluzioni ^i e Zt, 

 coll'inversa di una tale trasformazione, corrispondente alle u^,Ui\ 

 e questo dimostra anche immediatamente che le due trasforma- 

 zioni integrali date sono permutabili. Abbiamo dunque il teorema: 



Due trasformazioni integrali (generali) del 1° ordine, corri- 

 spondenti alle soluzioni (zi,Ui), (^s, «j) dell'equazione in z e del- 

 l'aggiunta, sono permutabili : e la trasformazione da esse composta 



(') Cfr. T. Gap. IH, n. .34. 



