SOLLA TRASFORMAZIONE DELLE EQUAZIONI LIXEAKI, ECC. 901 



dell'equazione data e dell'aggiunta, che individuano le due trasfor- 

 niasioni componenti. 



Un caso particolare di questo teorema è in modo speciale, 

 interessante. Se l'equazione data ammette una trasformazione 

 infinitesima di ordine qualunque 



\z = ^a„z„, (z„=.g^^) 



si può questa intendere come una particolare trasformazione 

 dell'equazione data (in se stessa) : dal teorema di permutabilità 

 segue allora immediatamente : 



Se un'equazione ammette una trasformazione infinitesima, qua- 

 lunque equazione che da essa si ottenga mediante una trasforma- 

 zione integro-differenziale, ammette essa pure una trasformazione 

 infinitesima e inversamente. 



Essendo inoltre una trasformazione infinitesima (quando 

 non sia composta di pure trasformazioni di Laplace) individuata 

 da un certo complesso di soluzioni particolari dell'equazione 

 data, è chiaro anche che la trasformazione infinitesima relativa 

 ad una trasformata integro-differenziale dell'equazione data, cor- 

 risponde al complesso delle soluzioni particolari, trasformate 

 (mediante la trasformazione integro-differenziale) di quelle che 

 individuavano la trasformazione infinitesima dell'equazione pri- 

 mitiva. 



§ Vili. 

 Le relazioni tra le diverse trasformate. 



20. Diamo in quest'ultimo § alcune altre proprietà interes- 

 santi delle trasformazioni [ffi.i?]. 



Ricordiamo perciò che una funzione tu, trasformata [w , p"] 

 della z, è individuata da un certo numero l-s2m-\-p di solu- 

 zioni Zi, Zt,...Zi dell'equazione in ^ e da 7; Ui...Up dell'aggiunta: 

 per essa si conoscono inoltre p soluzioni particolari uj. dell'equa- 

 zione in UJ, l Oi dell'aggiunta (che sono quelle date dalla dimo- 

 strazione del Liouville) : e le .formule stesse che danno le lu, e 



