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le Ot stabiliscuno una corrispondenza biunivoca tra le u, e lo uj., 

 le Zk e le 0* (Cfr. N. § I, 111, IV). Indicando poi con Zi^i la so- 

 luzione ausiliaria dell'equazione in z, che figura nella dimostra- 

 zione di Liouville, è chiaro che una qualunque delle funzioni, 

 ivi indicato con v,, ad es., la r,, è una trasformata [wi, ^>] della 

 equazione in z (ed insieme colla uj è generale o singolare, ed 

 in questo caso della medesima classe), la quale corrisponde 

 precisamente alle soluzioni ^, ...2,_i ^,+l...^,, ^i+i dell'equazione 

 in z, alle Mi,U2...Up dell'aggiunta. Di piìi, dal modo stesso con 

 cui si ottiene l'equazione in w (e le soluzioni aggiunte 0»), è 

 chiaro che la e, si ottiene dalla uj (o meglio dalla r.^,) con una 

 trasformazione di Liouville corrispondente alla .soluzione parti- 

 colare 0, dell'equazione aggiunta: od anche, poiché uj è deter- 

 minato solo a meno di un fattore di proporzionalità, ed il valore 

 1 della i|+, corrisponde alla soluzione ^,j.i della A» = 0; la 

 V, si ottiene dalla uj con una trasformazione integrale del 1° or- 

 dine, che corrisponde a quella soluzione uj,a.i dell'equazione in ai, 

 che si ha facendovi 2 = c,^., calla soluzione 0, dell'equazione 

 aggiunta. 



Considerando poi le due equazioni aggiunte di quelle in uj 

 e r, , e ricordando che la trasformazione aggiunta di una inte- 

 grale del 1" ordine è ancora una integrale del 1" ordine, cor- 

 rispondente alle stesse soluzioni dell'equazione data e dell'ag- 

 giunta, che individuano la trasformazione primitiva (le quali 

 soluzioni si scambiano però il loro ufficio); ne segue senz'altro 

 che anche queste due equazioni sono legate da una trasforma- 

 zione integrale del 1° ordine, corrispondente alle soluzioni uj.+i, 

 0, (e che è l'aggiunta di quella che lega le ui e r,). Ma si osservi 

 ora che le due equazioni aggiunto della lu e r, si ottengono 

 dalla ((/) = () con due trasformazioni integro-dififercnziali, che 

 rispettivamente corrispondono alle soluzioni (:., — r.: w,,..., i/,,); 

 (^1 ... z,_i , z,^i ... Zi , z,+ù «1 . . . Up) ; ne seguirà senz'altro il teorema : 



Due trasformate [»i,p] uj, uj' della z, che (essendo insieme 

 generali o .'singolari ed in quest'ultimo caso della medesima classe) 

 corrispondano a due complessi di soluzioni dell'equazione data e 

 dell'aggiunta (^i . . . ^i ; «, . . . Up) : (^i . . . ^._i z.^i ...z^, Zij.i : m, . . . i/,) 

 [oppure {zt...Zi; «i . . . Mp) ; (^, ...;,; «i .. . «r_i u,^i ... u^ «,^.1)] , di- 

 versi solo per una soluzio/ie particoUire dell'equazione stessa (0 del- 



