SULLA TR.VSFOKMAZIOXE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 993 



l'aijfjiiuita), sono lediate da una trasformazione integrale del 1" ordine 

 perfettamente determinata ; e, ad es., la vj' si ottiene dalla uu colla 

 trasformazione integrale del 1" ordine, che corrisponde a quella 

 soìiuione particolare dell'equazione in u), che si ha facendoci z:::^ zix.i 

 (oppure a quella dell'aggiunta che si ha facendo in « = Mp+i), 

 ed alla 0, dell'aggiunta (w^ di quella in lu), che corrisponde per 

 il metodo di Liouville alla z,{ur), che non entra nella composizione 

 della u)'". 



Poiché inoltre ogni soluzione dell'equazione in uu è indivi- 

 duata a meno di una parte additiva: 



€,uji + Cjujj-f- . . . -f e,uj^ , 



(che si ha facendo variare le costanti degli integrali A, che 

 conipougono la tu), è chiaro che anche la v, sarà determinata 

 a meno di una parte additiva 



eir,' + e,r,'-i-...-|-£pf/; 



(avendo indicato con r,' il risultato della sostituzione della lu, in 

 r,) si hanno cioè p soluzioni particolari dell'equazione in v,. 

 Queste soluzioni sono evidentemente quelle che si otterrebbero 

 deduccndo la r, direttamente dalla ~ : ed un ragionamento per- 

 fettamente simile (sulle equazioni aggiunte a quelle in uu e r,) 

 dimostra anche come eseguendo sulle Oi . . . 0,_i, O^j., ... 0, la 

 trasformazione aggiunta di quella che porta dalla uu alla v,, si 

 ottengono quelle soluzioni particolari O'i ... ()',_i, 0',^., ... 0'; del- 

 l'equazione aggiunta a quella in r„ che si sarebbero anche otte- 

 nute deducendo direttamente lar, dalla z; (l'ulteriore soluzione Oj+i 

 è quella che appartiene alla trasformazione integrale che porta 

 dalla uu alla i;): possiamo affermare cioè che nel passaggio dalla ai 

 alla lu', indicato nel teorema superiore, si conservano quelle solu- 

 zioni particolari dell'equazione data e dell'aggiunta, che il me- 

 todo di Liouville fa conoscere, e che corrispondono alle soluzioni 

 comuni all'una e all'altra trasformazione, in quanto che esse sono 



(') Il processo stesso di Liouville dimostra poi che anche l'inverso del 

 teorema è vero. 



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