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legato dalla stessa trasformazione (o dall'aggiunta) che dalla uu 

 pdita alla w'. 



21. K facile ora dare la relazione che lega due qualunque 

 funzioni uj. tu', trasformate integro-differenziali della funzione z. 

 Abbiamo già studiato altrove (n" 16) il caso che le due fun- 

 zioni uj ed ui' siano individuate dal medesimo complesso di 

 soluzioni particolari della equazione data e dell'aggiunta e 

 differiscano soltanto per le costanti arbitrarie da cui la tras- 

 formazione dipende; supporremo dunque che questo non av- 

 venga. Se poi le due funzioni tu ed m/ corrispondono a due 

 complessi di soluzioni dell'equazione data e dell'aggiunta, com- 

 pletamente diversi, per ottenere dall'una di queste funzioni 

 l'altra, ad es.: dalla lu la tu', sarà necessario e sufficiente pas- 

 sare dalla UJ alla z, e quindi dalla z alla lu'; e questo fa vedere 

 senz'altro come la uj' si ottenga dalla uj ancora con una tras- 

 formazione integro-differenziale, la quale corrisponde alle solu- 

 zioni particolari dell'equazione in uj e dell'aggiunta note col 

 metodo di Liouville, ed a quelle, che corrispondono alle soluzioni 

 particolari dell'equazione in z ed «, che portano dalla z alla uj'. 

 Quando invece i due complessi di .soluzioni che individuano le 

 due trasformazioni hanno alcune soluzioni in comune, il risul- 

 tato è ancora più semplice. Distinguiamo infatti i due casi delle 

 equazioni del tipo ellittico, e di quelle dei tipi iperbolico e pa- 

 rabolico. Nel primo caso, se il complesso delle soluzioni (del- 

 l'equazione data e dell' aggiunta) comuni alle due trasforma- 

 zioni, consta di un numero pari di funzioni, si costruisca la 

 funzione w", che si ottiene dalla z con una trasformazione in- 

 tegro-differenziale corrispondente a queste soluzioni comuni : da 

 questa funzione uj" noi otterremo la uj e la uj' con due tras- 

 formazioni integro-differenziali, che rispettivamente corrispon- 

 dono a quella parte delle soluzioni che l'individuano e non sono 

 comuni alle due trasformazioni: ed allora evidentemente per 

 passare dalla w alla uj', basterà prima dalla uj ottenere la uj", 

 quindi dalla w" la uj' (e sarà anche necessario). Questo dimostra 

 che la uj' si ottiene dalla uj ancora con una trasformazione in- 

 tegro-differenziale, determinata da quelle soluzioni particolari 

 dell'equazione in uj e dell'aggiunta, che per il metodo di Liou- 

 ville corrispondono alle soluzioni particolari ?, ed ih. apparte- 



